[论文解读] Invariance of multifractal spectrum of uniform self-affine measures and its applications

Hui Rao, Ya-min Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了在完全不连通的 Bedford-McMullen地毯上，均匀伯努利测度的多重分形谱和加倍性质在双利普希茨映射下保持不变。研究证明，若两个此类地毯彼此双利普希茨等价，则其均匀测度的多重分形谱和加倍行为必须完全相同，从而为自相似地毯的利普希茨分类提供了新的不变量。

ABSTRACT

We study the bi-Lipschitz classification of Bedford-McMullen carpets which are totally disconnected. Let $E$ be a such carpet and let $μ_E$ be the uniform Bernoulli measure on $E$. We show that the multifractal spectrum and the doubling property of $μ_E$ are both invariant under a bi-Lipschitz map. Moreover, we show that if $μ_E$ and $μ_F$ are doubling, then a bi-Lipschitz map between $E$ and $F$ enjoys a certain measure preserving property.

研究动机与目标

• 为自相似地毯的分类，特别是完全不连通情形，开发新的双利普希茨不变量。
• 研究均匀伯努利测度在双利普希茨映射下的行为，因其在非正则地毯中具有无穷性质，故替代豪斯多夫测度。
• 建立均匀测度的多重分形谱和加倍性质在双利普希茨等价下保持不变。
• 证明完全不连通自相似地毯之间的双利普希茨映射诱导测度保持性质，最多相差正常数。
• 利用 p-进赋值技术，分析非同构分布序列情形下的矛盾，从而证明在等价关系下谱的唯一性。

提出的方法

• 将自相似地毯 E 上的均匀伯努利测度 μ_E 定义为具有相等权重 1/N 的 IFS 的不变测度。
• 利用 k 阶柱集和基本矩形，通过估计与 δ-网格方块相交的柱集数量，即 μ_E(E_i)δ^{-dim_B E} 来估计测度。
• 建立对于双利普希茨映射 f: E → F，其推出测度 μ_F ∘ f 与 μ_E 均匀等价，且存在统一常数 ζ。
• 应用 p-进赋值技术分析 f 下柱集测度比值，重点关注 v_p(γ_k) 在 k → ∞ 时的行为。
• 利用 a_h^* 在 p-进赋值下的最小性，对测度比值进行有界，证明 |μ_F(J_j)/μ_E(U)|_p → 0，若 N ≠ N′ 则导致矛盾。
• 利用对偶颜色向量的结构和 IFS 的动力学，比较不同细化层级间的测度比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完全不连通自相似地毯之间，均匀伯努利测度的多重分形谱是否在双利普希茨映射下保持不变？
• RQ2 均匀伯努利测度的加倍性质是否在双利普希茨等价下保持不变？
• RQ3 自相似地毯的分布序列 (a_j) 是否能从其双利普希茨等价类中恢复？
• RQ4 测度比值的 p-进赋值在区分非等价地毯中起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，双利普希茨映射能将均匀伯努利测度保持在正常数范围内？

主要发现

• 在完全不连通自相似地毯之间，均匀伯努利测度的多重分形谱在双利普希茨映射下保持不变。
• 均匀伯努利测度的加倍性质在双利普希茨等价下被保留：μ_E 是加倍测度当且仅当 μ_F 是加倍测度。
• 若两个地毯 E 和 F 双利普希茨等价，则推出测度 μ_F ∘ f 与 μ_E 均匀等价，且存在统一常数 ζ。
• 对于双利普希茨映射 f: E → F，所有博雷尔集 A 的测度比值 μ_F(f(A))/μ_E(A) 有正下界和有限上界。
• 若分布序列 (a_j) 和 (b_j) 不是彼此的排列，则 N ≠ N′，且测度比值的 p-进赋值趋于零，导致矛盾。
• 证明表明，若 N ≠ N′，则对某个素数 p，有 v_p(γ_k) → -∞，意味着在 p-进范数下测度比值无法远离零，与测度保持性质矛盾。