[论文解读] Invariance of the spark, NSP order and RIP order under elementary transformations of matrices

Jiawang Yi, Guanzheng Tan|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了初等矩阵变换对压缩感知中三个关键属性的影响：spark、null space property（NSP）阶数和restricted isometry property（RIP）阶数。研究证明，这些属性在除列加法变换外的所有初等行变换和列变换下保持不变，从而确立了某些矩阵乘积能够保持稀疏恢复保证。其主要贡献在于识别出在与感知矩阵相乘时能保持这些属性的矩阵类别。

ABSTRACT

The theory of compressed sensing tells us that recovering all k-sparse signals requires a sensing matrix to satisfy that its spark is greater than 2k, or its order of the null space property (NSP) or the restricted isometry property (RIP) is 2k or above. If we perform elementary row or column operations on the sensing matrix, what are the changes of its spark, NSP order and RIP order? In this paper, we study this problem and discover that these three quantitative indexes of sensing matrices all possess invariance under all matrix elementary transformations except column-addition ones. Putting this result in form of matrix products, we get the types of matrices which multiply a sensing matrix and make the products still have the same properties of sparse recovery as the sensing matrix. According to these types of matrices, we made an interesting discovery that sensing matrices with deterministic constructions do not possess the property universality which belongs to sensing matrices with random constructions.

研究动机与目标

• 分析初等矩阵变换对核心压缩感知属性（spark、NSP阶数和RIP阶数）的影响。
• 确定哪些变换能够保持感知矩阵恢复稀疏信号的能力。
• 识别出与感知矩阵相乘时能保持其稀疏恢复属性的矩阵类型。
• 对比确定性与随机感知矩阵构造在普遍性和变换不变性方面的差异。

提出的方法

• 该研究分析了初等行变换和列变换对感知矩阵的spark、NSP阶数和RIP阶数的影响。
• 证明了spark、NSP阶数和RIP阶数在初等行变换及大多数列变换下保持不变，但列加法变换除外。
• 论文使用矩阵乘积形式来刻画与感知矩阵相乘时能保持这些属性的矩阵集合。
• 通过矩阵属性在变换下的代数与结构分析，建立了理论不变性结果。
• 分析基于压缩感知理论，特别是精确k-稀疏信号恢复所需条件。
• 结果通过矩阵结构与属性的正式数学推理推导得出，未进行经验验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 初等行和列变换如何影响感知矩阵的spark？
• RQ2 null space property（NSP）阶数在初等矩阵变换下是否保持不变？
• RQ3 restricted isometry property（RIP）阶数是否在所有类型的初等矩阵运算下均保持不变？
• RQ4 哪些类别的矩阵在与感知矩阵相乘时能保持其稀疏恢复属性？
• RQ5 为何确定性感知矩阵在矩阵变换背景下缺乏随机构造的普遍性？

主要发现

• 感知矩阵的spark在除列加法变换外的所有初等行和列变换下保持不变。
• null space property（NSP）阶数在除列加法变换外的所有初等变换下保持不变。
• restricted isometry property（RIP）阶数在除列加法变换外的所有初等变换下保持不变。
• 能保持spark、NSP和RIP属性的矩阵乘积，其特征为不包含列加法变换的矩阵类。
• 确定性感知矩阵在变换不变性方面不具备随机构造的普遍性，因其对列加法变换敏感。