[论文解读] Invariance principles for conditioned Galton-Watson trees

Igor Kortchemski|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本论文建立了在后代分布具有无限方差且属于稳定分布域吸引范围时，对具有大量固定叶数的临界Galton-Watson树的不变性原理。结果表明，经缩放的Lukasiewicz路径与轮廓函数分别收敛于严格稳定、非负跳过程的泛函与相应高度函数的泛函，将极限定理推广至无限方差情形。

ABSTRACT

We are interested in the asymptotic behavior of critical Galton-Watson trees whose offspring distribution may have infinite variance, which are conditioned on having a large fixed number of leaves. We first find an asymptotic estimate for the probability of a Galton-Watson tree having $n$ leaves. Secondly, we let $t_n$ be a critical Galton-Watson tree whose offspring distribution is in the domain of attraction of a stable law, and conditioned on having exactly $n$ leaves. We show that the rescaled Lukasiewicz path and contour function of $t_n$ converge respectively to $X^{exc}$ and $H^{exc}$, where $X^{exc}$ is the normalized excursion of a strictly stable spectrally positive Levy process and $H^{exc}$ is its associated continuous-time height function. As an application, we investigate the distribution of the maximum degree in a critical Galton-Watson tree conditioned on having a large number of leaves. We also explain how these results can be generalized to the case of Galton-Watson trees which are conditioned on having a large fixed number of vertices with degree in a given set, thus extending results obtained by Aldous, Duquesne and Rizzolo.

研究动机与目标

• 分析当后代分布具有无限方差时，对具有大量固定叶数的临界Galton-Watson树的渐近行为。
• 推导Galton-Watson树恰好具有n片叶的概率的渐近估计。
• 建立经缩放的路径函数与轮廓函数弱收敛于稳定泛函及其高度函数的结论。
• 将Aldous、Duquesne与Rizzolo的先前结果推广至无限方差情形，并推广至对指定集合中度数的条件。

提出的方法

• 运用关于以叶数为条件的随机树理论，重点研究后代分布属于稳定律域吸引范围的临界Galton-Watson过程。
• 应用Lukasiewicz路径与轮廓函数作为树结构的离散路径表示。
• 对Lukasiewicz路径与轮廓函数进行缩放，使其弱收敛于严格稳定、非负跳过程的泛函。
• 使用归一化的泛函$X^{\text{exc}}$及其关联的高度函数$H^{\text{exc}}$作为极限过程。
• 在假设无限方差及分布属于稳定律域吸引范围的前提下，利用分布收敛性。
• 将收敛结果推广至对给定集合中度数的顶点数为条件的树，从而扩展了先前工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 当后代分布具有无限方差时，临界Galton-Watson树恰好具有n片叶的渐近概率是多少？
• RQ2 当n趋于无穷时，具有n片叶的Galton-Watson树的经缩放Lukasiewicz路径与轮廓函数如何表现？
• RQ3 在无限方差及分布属于稳定律域吸引范围的条件下，经缩放路径与轮廓函数的极限过程是什么？
• RQ4 当对具有大量叶数的临界Galton-Watson树进行条件化时，其最大度数的行为如何？
• RQ5 收敛结果能否推广至对指定集合中度数的顶点数为条件的树？

主要发现

• 临界Galton-Watson树恰好具有n片叶的概率存在渐近估计，其依赖于后代分布所属的稳定律。
• 经缩放的条件树的Lukasiewicz路径弱收敛于$X^{\text{exc}}$，即严格稳定、非负跳Lévy过程的归一化泛函。
• 经缩放的轮廓函数弱收敛于$H^{\text{exc}}$，即与$X^{\text{exc}}$关联的连续时间高度函数。
• 在n → ∞的极限下，对具有n片叶的临界Galton-Watson树的最大度数的分布得以刻画。
• 收敛结果被推广至对给定集合中度数的顶点数为条件的树，扩展了Aldous、Duquesne与Rizzolo的早期结果。
• 极限过程$X^{\text{exc}}$与$H^{\text{exc}}$为这类经条件化的Galton-Watson树在无限方差情形下的尺度极限提供了普遍描述。