[论文解读] Invariance principles for pruning processes of Galton-Watson trees

Hui He, Matthias Winkel|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文建立了离散Galton-Watson剪枝过程与连续Lévy森林过程之间的不变性原理，表明经适当缩放的Galton-Watson森林剪枝过程在Skorohod拓扑下依分布收敛于极限剪枝过程。关键结果解决了Abraham与Delmas提出的一个开放问题，证明在吸引域条件下的边剪枝与分支点剪枝均收敛。

ABSTRACT

Pruning processes $(\mathcal{F}(θ),θ\geq 0)$ have been studied separately for Galton-Watson trees and for Lévy trees/forests. We establish here a limit theory that strongly connects the two studies. This solves an open problem by Abraham and Delmas, also formulated as a conjecture by Löhr, Voisin and Winter. Specifically, we show that for any sequence of Galton-Watson forests $\mathcal{F}_n$, $n\geq 1$, in the domain of attraction of a Lévy forest $\mathcal{F}$, suitably scaled pruning processes $(\mathcal{F}_n(θ),θ\geq 0)$ converge in the Skorohod topology on cadlag functions with values in the space of (isometry classes of) locally compact real trees to limiting pruning processes. We separately treat pruning at branch points and pruning at edges. We apply our results to study ascension times and Kesten trees and forests.

研究动机与目标

• 建立离散Galton-Watson剪枝过程与连续Lévy森林过程之间的极限理论。
• 解决Abraham与Delmas提出的问题，并验证Löhr、Voisin与Winter关于剪枝过程收敛性的猜想。
• 在缩放极限的框架下统一研究边剪枝与分支点剪枝的理论。
• 将收敛结果应用于极限情形下上升时间与Kesten森林的分析。

提出的方法

• 通过一列处于Lévy森林$\mathcal{F}$吸引域内的Galton-Watson森林$\mathcal{F}_n$使用缩放极限，缩放因子$\gamma_n \to \infty$。
• 在取值于局部紧实树的等距类空间上的右连左极函数的Skorohod拓扑上应用。
• 分别处理边剪枝（$A^E(\theta)$）与分支点剪枝（$A^B(\theta)$），使用独立的指数时钟确定剪枝时间。
• 建立缩放剪枝过程$\mathcal{F}_n(\theta)/\gamma_n$依分布收敛于极限过程$\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$。
• 利用后代分布$\xi_n$收敛于满足Grey条件与保守性条件的极限分支机制$\psi$。
• 使用Gromov-Hausdorff拓扑实现度量树的收敛，并通过$q_0(\theta)$与$q_n^{-1}$的反函数将结果与上升时间分析耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的缩放下，Galton-Watson森林的剪枝过程是否收敛于极限Lévy森林过程？
• RQ2 能否在同一极限框架下统一证明边剪枝与分支点剪枝的收敛性？
• RQ3 当种群规模增大时，剪枝过程中上升时间的极限行为是什么？
• RQ4 极限剪枝过程与Kesten森林及其相关灭绝时间分布之间有何关系？

主要发现

• 缩放剪枝过程$\mathcal{F}_n^E(\theta/n)/\gamma_n$与$\mathcal{F}_n^B(\theta/n)/\gamma_n$在Skorohod拓扑下依分布收敛于极限剪枝过程$\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$。
• 极限过程$\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta)$是一个具有分支机制$\psi$的Lévy森林剪枝过程，且$\psi$满足Grey条件与保守性条件。
• 第$n$个Galton-Watson森林的上升时间$A_n$依分布收敛于极限过程的上升时间$A$，且沿子序列几乎必然有$A_n \to A$。
• 联合收敛$ (\mathcal{F}_n^B(\theta/n)/\gamma_n, \theta \geq -A_n) \xrightarrow{d} (\mathcal{F}^{\rm AD}(\theta), \theta \geq -A) $成立，从而确定了极限联合分布。
• 反函数$q_n^{-1}(e^{-W/\lfloor nx\rfloor})$收敛于$q_0^{-1}(W/x)$，确保了Kesten森林耦合在极限下的稳定性。
• 上升时间$A$的极限分布无原子，从而保证了极限联合分布的唯一性与稳定性。