[论文解读] Invariant Berezin integration on homogeneous supermanifolds

Alexander Alldridge, Joachim Hilgert|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文建立了李超群 $\mathcal{G}$ 及其闭子超群 $\mathcal{H}$ 的齐次超流形 $\Gamma/\mathcal{H}$ 上的不变 Berezin 积分理论。证明了存在 $\mathcal{G}$-不变 Berezin 密度当且仅当商超代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 的对偶的 Berezinian 是 $\mathcal{H}$-模的平凡模，并推导出通过 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{H}$ 的纤维积分对 $\mathcal{G}$ 上积分的 Fubini 型公式，将经典调和分析中的结果推广至超几何设定。

ABSTRACT

Let G be a Lie supergroup and H a closed subsupergroup. We study the unimodularity of the homogeneous supermanifold G/H, i.e. the existence of G-invariant sections of its Berezinian line bundle. To that end, we express this line bundle as a G-equivariant associated bundle of the principal H-bundle G over G/H. We also study the fibre integration of Berezinians on oriented fibre bundles. As an application, we prove a formula of `Fubini' type: the invariant integral over G can be expressed (up to sign) by a succesive invariant integration over H and G/H. Moreover, we derive analogues of integral formulae for the transformation under local isomorphisms of unimodular homogeneous superspaces G/H and S/T, and under the products of subsupergroups of Lie supergroups. The classical counterparts of these formulae have numerous applications in harmonic analysis.

研究动机与目标

• 将经典关于齐次空间上单模性与不变积分的结果推广至李超群与超流形的超几何设定。
• 通过超代数 $\mathfrak{g}/\mathfrak{h}$ 上的表示论条件，刻画 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 上 $\mathcal{G}$-不变 Berezinian 形式的存在性。
• 为定向超纤维丛建立纤维积分理论，并通过 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 与 $\mathcal{H}$ 推导出 $\mathcal{G}$ 上积分的 Fubini 型公式。
• 将经典积分公式在局部同构与子超群乘积下的推广扩展至超设定，并应用于对称超空间上的调和分析。

提出的方法

• 将 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 的 Berezinian 线丛表示为 $\mathcal{G}$-等变伴随丛 $\mathcal{G} \times^\mathcal{H} \mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$。
• 利用 Berezinian 线丛的同构，将 $\mathcal{G}$-不变截面的存在性问题约化为 $\mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$ 作为 $\mathcal{H}$-模的平凡性。
• 构造定向超纤维丛的一般纤维积分映射，并证明 Berezin 密度积分的 Fubini 型公式。
• 通过计算伴随表示的 Berezinian $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})$ 与 $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})$，推导出经典乘积公式的超类比。
• 将理论应用于局部同构 $\mathcal{G}/\mathcal{H} \to \mathcal{S}/\mathcal{T}$ 与乘积 $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H} \subset \mathcal{U}$，计算 Berezin 积分的变换规则。
• 利用广义点与局部超矩阵表达式，计算乘法映射 $m: \mathcal{M} \times \mathcal{H} \to \mathcal{U}$ 的微分的 Berezinian。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时齐次超流形 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 允许存在非零的 $\mathcal{G}$-不变 Berezinian 形式？
• RQ2 如何将经典积分公式中 $G/H$ 上的 Fubini 公式推广至超设定？
• RQ3 在齐次超空间之间的局部同构下，Berezin 积分的变换规则是什么？
• RQ4 在子超群乘积 $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H} \subset \mathcal{U}$ 上的积分如何与 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{H}$ 上的积分相关联？
• RQ5 伴随表示的 Berezinian 在计算超群积分的雅可比因子中起什么作用？

主要发现

• 齐次超流形 $\mathcal{G}/\mathcal{H}$ 支持非零 $\mathcal{G}$-不变 Berezinian 形式当且仅当 $\mathrm{Ber}((\mathfrak{g}/\mathfrak{h})^*)$ 是 $\mathcal{H}$-模的平凡模。
• 存在 Fubini 型公式：对所有 $f \in \Gamma_c(G, \mathcal{O}_{\mathcal{G}})$，有 $\int_{\mathcal{G}} f = (-1)^{\dim \mathfrak{h}_1 \cdot \dim \mathfrak{g}/\mathfrak{h}} \int_{\mathcal{G}/\mathcal{H}} \int_{\mathcal{H}} f$。
• 对于分解为 $\mathcal{M} \cdot \mathcal{H}$ 的李超群 $\mathcal{U}$，$\mathcal{U}$ 上的积分为 $\int_{\mathcal{U}} f = \int_{\mathcal{M} \times \mathcal{H}} m^*f \cdot \frac{\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})}{\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})}$，并附有适当的归一化。
• 定向超纤维丛的纤维积分映射满足 Fubini 型公式，将经典情形推广至超几何。
• 在局部同构 $\mathcal{G}/\mathcal{H} \to \mathcal{S}/\mathcal{T}$ 下，Berezin 积分的变换规则由商超代数上诱导线性映射的 Berezinian 决定。
• 乘积公式中的雅可比因子源于乘法映射微分的 Berezinian，其通过 $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{h}})$ 与 $\mathrm{Ber}(\mathrm{Ad}_{\mathfrak{u}})$ 计算得出。