[论文解读] Invariant conservative difference schemes for shallow water equations in Eulerian and Lagrangian coordinates

В. А. Дородницын, Е. И. Капцов|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 50被引用 6

一句话总结

本文提出了一种适用于欧拉坐标系下具有任意底地形的一维浅水方程的不变保守有限差分格式，采用有限差分法的直接法模拟，以保持所有主要守恒律（质量、动量、能量、质心）的不变性。该格式在均匀正交网格上保持对称性与守恒性质，通过堤坝溃决问题的数值验证表明，即使在对格式进行微小修改的情况下，能量守恒性能依然优异。

ABSTRACT

The one-dimensional shallow water equations in Eulerian coordinates are considered. Relations between symmetries and conservation laws for the potential form of the equations, and symmetries and conservation laws in Eulerian coordinates are shown. An invariant difference scheme for equations in Eulerian coordinates with arbitrary bottom topography is constructed. It possesses all the finite-difference analogues of the conservation laws. Some bottom topographies require moving meshes in Eulerian coordinates, which are stationary meshes in mass Lagrangian coordinates. The developed invariant conservative difference schemes are verified numerically using examples of flow with various bottom topographies.

研究动机与目标

• 为欧拉坐标系下具有任意底地形的浅水方程开发不变保守有限差分格式。
• 建立方程势函数形式中的对称性与守恒律，以及其在欧拉变量中的对应关系。
• 确保所构造的格式能够同时保持所有主要守恒律，包括质量、动量、能量和质心守恒律。
• 将先前针对拉格朗日坐标系的格式研究扩展至欧拉坐标系，特别是针对非均匀底地形的情况。
• 通过堤坝溃决问题对格式进行数值验证，并在有黏性和无黏性条件下评估其守恒性质。

提出的方法

• 采用有限差分法的直接法模拟，以计算守恒律并构造不变格式。
• 应用李点对称分析，识别浅水方程势函数形式中的对称性，并将其映射至欧拉变量。
• 在均匀正交网格上构造差分格式，使其将所有微分守恒律表示为有限差分的对应形式。
• 采用三时间层格式以保持守恒性质，其两时间层版本可表示为流体动力学变量形式。
• 在拉格朗日坐标系中引入伪黏性项，形式为与 $ \frac{\check{x}_{ts}}{x_s} $ 成正比的线性人工黏性，以稳定数值解。
• 通过堤坝溃决问题对格式进行数值验证，采用抛物线形及其他底地形，比较能量守恒性能与自由表面剖面。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造适用于欧拉坐标系下具有任意底地形的一维浅水方程的不变保守有限差分格式？
• RQ2 方程势函数形式中的对称性与守恒律，与其在欧拉变量中的对应形式之间存在何种关系？
• RQ3 不变差分格式是否能在均匀正交网格上同时保持所有主要守恒律（质量、动量、能量和质心）？
• RQ4 在使用不变格式并带有或不带人工黏性时，堤坝溃决问题的数值解在守恒性质方面表现如何？
• RQ5 对不变格式进行微小修改后，能量守恒性能会退化到何种程度？伪黏性项对此有何影响？

主要发现

• 所构造的不变保守差分格式在任意底地形下，于均匀正交网格上成功保持了所有主要守恒律（质量、动量、能量和质心）。
• 堤坝溃决问题的数值结果表明能量守恒性能极佳，能量守恒误差 $ |\delta\varepsilon| $ 在对数尺度下始终保持较低水平，如图15所示。
• 引入人工黏性（取 $ \nu = h $）虽能改善自由表面剖面，但导致能量守恒性能显著下降，凸显了稳定性与守恒性之间的权衡。
• 即使对不变格式进行微小修改，也会导致能量守恒性能大幅恶化，凸显了严格不变性对长期精度的重要性。
• 该格式在拉格朗日和欧拉两种表述下均成功实现，且在不同底地形下均验证了守恒性质的一致性。
• 表 LABEL:tab:Htable 和 LABEL:tab:HtableDelta 对欧拉与拉格朗日差分格式的对称性与守恒律进行了全面分类，涵盖从平坦到底地形任意变化的各类情况。