[论文解读] Invariant Cyclic Homology

Masoud Khalkhali, Bahram Rangipour|ArXiv.org|Jul 14, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入了不变循环上同调作为不变de Rham上同调的非交换类比，定义于三元组 $(A, \mathcal{H}, M)$，其中包含一个霍普夫代数 $\mathcal{H}$、一个 $\mathcal{H}$-余模代数 $A$ 和一个 $\mathcal{H}$-模 $M$，并具有相容的群元素 $\sigma$。该理论推广了康奈斯-莫斯科维茨的循环上同调，并提供了一个框架，使得循环上同调群可编码群与李代数上同调（带系数）。一个关键结果是：当 $\mathcal{H}$ 为交换代数时，不变循环上同调分解为霍普夫上同调群的直和。

ABSTRACT

We define a noncommutative analogue of invariant de Rham cohomology. More precisely, for a triple $(A,\mathcal{H},M)$ consisting of a Hopf algebra $\mathcal{H}$, an $\mathcal{H}$-comodule algebra $A$, an $\mathcal{H}$-module $M$, and a compatible grouplike element $σ$ in $\mathcal{H}$, we define the cyclic module of invariant chains on $A$ with coefficients in $M$ and call its cyclic homology the invariant cyclic homology of $A$ with coefficients in $M$. We also develop a dual theory for coalgebras. Examples include cyclic cohomology of Hopf algebras defined by Connes-Moscovici and its dual theory. We establish various results and computations including one for the quantum group $SL(q,2)$.

研究动机与目标

• 为霍普夫代数发展不变de Rham上同调的非交换类比。
• 统一并推广现有的循环上同调理论，包括康奈斯-莫斯科维茨的理论以及文献[12, 19]中的理论。
• 通过双胞胎余循环模构造，将理论扩展至余代数。
• 将带系数的群上同调与李代数上同调解释为不变循环上同调的特例。
• 建立计算工具，特别是针对量子群如 $SL_q(2)$ 的情形。

提出的方法

• 将不变链的循环模 $C_n^{\mathcal{H}}(A,M)$ 定义为在 $\mathcal{H}$-作用下，对一个抛循环模的余不变子模。
• 引入 $\sigma$-相容的霍普夫三元组 $(A, \mathcal{H}, M)$，并利用一个群元素 $\sigma$ 来定义不变循环上同调。
• 通过 $\delta$-相容的霍普夫余三元组 $(C, \mathcal{H}, V)$ 构造余代数的对偶理论，将不变上链定义为一个抛余循环模的余不变子模。
• 对模使用余不变函子 $M_{\mathcal{H}} = k_\delta \otimes_{\mathcal{H}} M$，对余模使用 $M^{\text{co}\mathcal{H}} = \text{Hom}_{\mathcal{H}}(k_\sigma, M)$。
• 利用余迹 $\delta$-积分 $t$ 的存在性，证明当 $\delta(t)$ 可逆时，$HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$ 是 $HC^\bullet(C)$ 的直和项，且存在一个循环模映射 $\gamma$ 作为投影的右逆。
• 当 $\mathcal{H}$ 为交换代数时，证明 $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$，从而将不变循环上同调与霍普夫上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过霍普夫代数作用将不变de Rham上同调推广至非交换情形？
• RQ2 康奈斯-莫斯科维茨的霍普夫代数循环上同调是否可解释为更广泛不变循环上同调理论的特例？
• RQ3 群元素与特征在定义代数与余代数的不变循环模中起什么作用？
• RQ4 霍普夫代数的不变循环上同调如何与它的霍普夫上同调及群上同调相关联？
• RQ5 在何种条件下，不变循环上同调可分解为上同调群的直和？

主要发现

• 一个 $\sigma$-相容的霍普夫三元组 $(A, \mathcal{H}, M)$ 的不变循环上同调被定义为在 $\mathcal{H}$-作用下，抛循环模 $C_n(A,M)$ 的余不变子模的循环上同调。
• 当霍普夫代数 $\mathcal{H}$ 通过共乘法作用时，不变循环模 $\widetilde{\mathcal{H}}_n^{(\delta,\sigma)}$ 同构于系数取自 $\mathcal{H}$ 的 $\mathcal{H}$ 的循环模。
• 余代数的对偶理论产生了一个不变上链的余循环模 $C_{\mathcal{H}}^n(C,V)$，即一个抛余循环模的余不变子模，从而将框架扩展至对偶情形。
• 当存在一个余迹 $\delta$-积分 $t$ 且 $\delta(t)$ 可逆时，$HC_{\mathcal{H}}^\bullet(C,k)$ 是 $HC^\bullet(C)$ 的直和项，且存在一个循环模映射 $\gamma$ 作为投影的右逆。
• 当 $\mathcal{H}$ 为交换代数时，不变循环上同调 $HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},V)$ 分解为 $\bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}(\mathcal{H},V)$，其中 $H^i(\mathcal{H},V)$ 为霍普夫上同调群。
• 在复仿射代数群 $G$ 的情形下，$HC_{\mathcal{H}}^n(\mathcal{H},M) \cong \bigoplus_{i\geq 0} H^{n-2i}_{\text{alg}}(G,M)$，将该理论与代数群上同调联系起来。