[论文解读] Invariant distributions, Beurling transforms and tensor tomography in higher dimensions

Gabriel P. Paternain, Mikko Salo+1 more|Apollo (University of Cambridge)|Apr 28, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 29被引用 9

一句话总结

该论文通过利用不变分布证明共轭测地线射线变换的满射性，将张量层析成像的结果从二维推广到高维。结合阿诺索夫流形上的佩斯托夫恒等式与次椭圆估计，以及非正曲率流形上的博尔林变换压缩性，证明了在终止值条件下的对称张量场射线变换的单射性，推动了高维谱刚性与反问题理论的发展。

ABSTRACT

In the recent articles \cite{PSU1,PSU3}, a number of tensor tomography results were proved on two-dimensional manifolds. The purpose of this paper is to extend some of these methods to manifolds of any dimension. A central concept is the surjectivity of the adjoint of the geodesic ray transform, or equivalently the existence of certain distributions that are invariant under geodesic flow. We prove that on any Anosov manifold, one can find invariant distributions with controlled first Fourier coefficients. The proof is based on subelliptic type estimates and a Pestov identity. We present an alternative construction valid on manifolds with nonpositive curvature, based on the fact that a natural Beurling transform on such manifolds turns out to be essentially a contraction. Finally, we obtain uniqueness results in tensor tomography both on simple and Anosov manifolds that improve earlier results by assuming a condition on the terminator value for a modified Jacobi equation.

研究动机与目标

• 将二维张量层析成像结果推广至任意维度的流形。
• 通过构造具有可控傅里叶系数的不变分布，建立伴随射线变换 $ I_m^* $ 的满射性。
• 在阿诺索夫流形与非正曲率流形上，于终止值条件下证明测地线射线变换 $ I_m $ 的单射性。
• 通过 $ L^2 $-恒等式与基于曲率的估计，统一调和分析、动力系统与几何反问题。
• 通过 $ \alpha $-可控流形与终止值，提供阿诺索夫测地流的新表征。

提出的方法

• 以佩斯托夫恒等式作为基础的 $ L^2 $-恒等式，将测地线向量场 $ X $、垂直与水平梯度 $ \overset{\tt{v}}{\nabla}, \overset{\tt{h}}{\nabla} $ 与曲率 $ K $ 联系起来。
• 在阿诺索夫流形上应用次椭圆 $ L^2 $-估计，通过构造具有可控首阶傅里叶系数的不变分布，证明 $ I_0^* $ 的满射性。
• 在对称张量场上引入博尔林变换，当截面曲率 $ K \leq 0 $ 时，该变换表现为压缩算子，从而提供另一种不变分布的构造方法。
• 定义 $ \alpha $-可控流形，并利用终止值 $ \beta_{\text{Ter}} $ 在非正曲率与阿诺索夫条件之间进行插值。
• 在单位切丛 $ SM $ 上使用球谐函数展开，将函数分解并分析 $ X = X_+ + X_- $ 在不同傅里叶模上的作用。
• 依赖对易子恒等式与古列敏-卡赞坦能量恒等式，将佩斯托夫恒等式与曲率项关联，尤其在二维情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过不变分布在高维中建立伴随射线变换 $ I_m^* $ 的满射性？
• RQ2 次椭圆估计与佩斯托夫恒等式如何促进在阿诺索夫流形上构造具有可控傅里叶系数的不变分布？
• RQ3 博尔林变换在非正曲率流形上构造不变分布中起什么作用？
• RQ4 修正的雅可比方程的终止值 $ \beta_{\text{Ter}} $ 如何影响射线变换 $ I_m $ 的单射性？
• RQ5 能否通过 $ \alpha $-可控流形的概念在高维中为阿诺索夫测地流提供动力系统表征？

主要发现

• 在任意阿诺索夫流形上，存在具有可控首阶傅里叶系数的不变分布，其构造依赖于次椭圆 $ L^2 $-估计与佩斯托夫恒等式。
• 在非正曲率流形上，无迹对称张量场上的博尔林变换本质上是压缩算子，从而提供了另一种不变分布的构造方法。
• 通过次椭圆估计与佩斯托夫恒等式，在阿诺索夫流形上建立了 $ I_0^* $ 的满射性，从而推出 $ I_0 $ 的单射性。
• 对于 $ m \geq 1 $，在终止值 $ \beta_{\text{Ter}} $ 的某一条件下，证明了 $ I_m^* $ 的满射性，从而推出 $ I_m $ 在阿诺索夫与非正曲率流形上的单射性。
• 在平坦情形下，对 $ u \in \Omega_1 $ 有不等式 $ \|X_-u\| \leq \sqrt{2}\|X_+u\| $，该不等式是精确的，表明对先前工作 [GK80c] 中常数的修正。
• 在求和与重标记下，佩斯托夫恒等式与古列敏-卡赞坦恒等式被证明是等价的，且当限制在 $ \Lambda_k $ 分量时，前者退化为后者。