[论文解读] Invariant Hochschild cohomology of smooth functions

Lukas Miaskiwskyi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了在李群作用下光滑流形上函数的不变Hochschild上同调，区分了上链的不变性与上同调类的不变性。对于恰当的群作用，证明了这两种概念一致，建立了不变的Hochschild-Kostant-Rosenberg定理，将不变上同调与不变多向量场相联系。

ABSTRACT

Given an action of a Lie group on a smooth manifold, we discuss the induced action on the Hochschild cohomology of smooth functions, and notions of invariance on this space. Depending on whether one considers invariance of cochains or invariance of cohomology classes, two different spaces of invariants arise. We perform a general comparison of these notions, give an interpretation of the lower orders of the invariant cohomology spaces and conclude as our main result that for proper group actions both spaces are isomorphic. As a corollary and a geometric interpretation, an invariant version of the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem is given, identifying the cohomology of invariant cochains with invariant multivector fields. Using this theorem, we shortly discuss the invariant Hochschild cohomology in the case of homogeneous spaces.

研究动机与目标

• 澄清在李群作用下Hochschild上链的不变性与Hochschild上同调类的不变性之间的区别。
• 研究不变上链的上同调与不变上同调类空间之间的关系。
• 建立这两个不变空间同构的条件，特别是针对恰当群作用的情形。
• 通过不变的Hochschild-Kostant-Rosenberg定理提供几何解释。
• 将结果应用于齐次空间，并将不变上同调与不变多向量场联系起来。

提出的方法

• 引入两种不变性的概念：通过群作用在上链复上定义的上链不变性，以及通过在上同调上诱导的作用定义的上同调类不变性。
• 定义了两个不变空间之间的自然同态 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(\mathscr{A}, \mathsf{N}) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(\mathscr{A}, \mathsf{N})^G$。
• 利用恰当作用下存在不变单位分解的事实，构造了上链上的平均算子，从而保证 $\iota$ 的单射性。
• 应用经典的Hochschild-Kostant-Rosenberg定理，无需对群作用施加限制即可推出 $\iota$ 的满射性。
• 使用半范数估计和局部有限单位分解，证明了平均映射的连续性以及上链的局部有限和。
• 通过将 $\mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M))$ 识别为 $M$ 上不变多向量场的上同调，获得几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不变上链空间与不变上同调类空间重合？
• RQ2 群作用如何影响流形上光滑函数的Hochschild上同调？
• RQ3 不变上链的上同调在微分几何中的几何意义是什么？
• RQ4 能否为恰当群作用建立不变的Hochschild-Kostant-Rosenberg定理？
• RQ5 不变上同调与齐次空间的几何有何关联？

主要发现

• 对于光滑流形 $M$ 上的恰当李群作用，自然映射 $\iota: \mathrm{HH}^{\bullet}_G(C^\infty(M)) \to \mathrm{HH}^{\bullet}(C^\infty(M))^{G}$ 是同构。
• 该同构通过上链上的平均算子实现，其可行性源于恰当作用下存在不变单位分解。
• 不变上链的上同调同构于不变多向量场的上同调，从而得到一个不变的Hochschild-Kostant-Rosenberg定理。
• 映射 $\iota$ 的满射性由经典HKR定理推出，且不依赖于恰当性；而单射性则依赖于恰当性。
• 通过半范数估计与紧致 exhaustion 技巧，严格证明了平均映射的连续性以及上链的局部有限和。
• 结果为对称相空间中的变形量子化提供了不变变形的有限维分类。