[论文解读] Invariant Imbedding Equations for Electromagnetic Waves in Stratified Magnetic Media: Applications to One-Dimensional Photonic Crystals

Kihong Kim, Halston Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2002

Photonic Crystals and Applications参考文献 6被引用 17

一句话总结

本文推导出在一维分层磁性介质中电磁波传播的不变嵌入方程，该介质的介电常数和磁导率具有任意空间变化。通过将一阶常微分方程组作为初值问题求解，该方法可精确计算s-和p-极化波的反射与透射系数以及内部场振幅，揭示出波阻抗而非折射率是周期性结构中形成光子带隙的关键因素。

ABSTRACT

We derive the invariant imbedding equations for plane electromagnetic waves propagating in stratified magnetic media, where both dielectric and magnetic permeabilities vary in one spatial direction in an arbitrary manner. These equations allow us to obtain the reflection and transmission coefficients of the waves and the field amplitudes inside the media exactly for any polarization and incident angle of the incoming wave by solving an initial value problem of a small number of ordinary differential equations. We apply our results to one-dimensional photonic crystals, where the periodic variations of both dielectric and magnetic permeabilities create photonic band gaps in the frequency spectrum.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于求解介电常数和磁导率在空间上变化的分层介质中的电磁波传播问题。
• 将不变嵌入方法扩展至磁性介质，实现反射、透射及场振幅的精确解。
• 研究波阻抗与折射率在形成一维光子晶体中光子带隙时的作用。
• 通过周期性层状结构中数值解的验证，确认该方法的有效性。
• 在折射率或波阻抗均匀的条件下，证明s-波与p-波带隙的对称性与等价性。

提出的方法

• 推导出在介电常数ε(z)和磁导率μ(z)具有任意空间变化的分层介质中，电场复振幅的一阶不变嵌入方程。
• 通过从界面开始向内积分微分方程，利用边界条件E(z;z) = 1 + r(z)将问题表述为初值问题。
• 将该方法应用于s-和p-极化波，利用控制方程中ε与μ之间的对称性。
• 数值求解所得常微分方程组，以计算反射与透射系数。
• 采用传输矩阵法的解析带隙条件作为基准，验证数值结果的准确性。
• 将该方法应用于具有交替介质层与铁氧体类材料的100周期光子晶体，研究透射谱与带隙形成特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将不变嵌入方法推广至包含分层介质中空间变化磁导率的情况？
• RQ2 波阻抗在确定周期性磁性-介质结构中光子带隙的存在性与大小方面起什么作用？
• RQ3 在一维光子晶体中，s-和p-极化波在何种条件下表现出相同的光子带隙？
• RQ4 不变嵌入方法能否为任意非均匀磁性介质中的反射与透射系数提供精确解？
• RQ5 当折射率均匀但波阻抗周期性变化时，带隙特性如何变化？

主要发现

• 不变嵌入方程可为介电常数ε和磁导率μ具有任意空间变化的一维分层介质中的反射与透射系数及内部场振幅提供精确解。
• 对于具有交替ε和μ的100周期光子晶体，通过不变嵌入法计算的透射谱与传输矩阵法的解析带隙预测完全一致。
• 当折射率均匀（n_a = n_b = 2）时，s-波与p-波带隙在大小和位置上完全相同，证实了理论对称性。
• 在波阻抗均匀（Z_a = Z_b）的情况下，s-波与p-波带隙保持对称，但带隙大小取决于折射率的周期调制。
• 对于正入射（θ = 0°），当ε_a=4, μ_a=1, ε_b=2, μ_b=2时，首个带隙出现在1.23 < k₀Λ < 1.91，与解析公式预测一致。
• 对于θ = 45°的斜入射，带隙移至1.32 < k₀Λ < 2.04，且不变嵌入方法准确捕捉了该位移及相应的透射谷。