[论文解读] Invariant Manifolds for Non-differentiable Operators

Marco Martens, Liviana Palmisano|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文为非可微非线性算子建立了一个通用的不变流形定理，以‘跳出可微性’和拓扑双曲性替代经典的不同可微性和双曲性条件。证明了空间 $\mathcal{C}^{4+\epsilon}$ Fibonacci Cherry 映射构成一个 $\mathcal{C}^1$ 余维数为一的流形，将不变流形理论的应用范围扩展至动力系统中非光滑的重整化方案。

ABSTRACT

A general invariant manifold theorem is needed to study the topological classes of smooth dynamical systems. These classes are often invariant under renormalization. The classical invariant manifold theorem cannot be applied, because the renormalization operator for smooth systems is not differentiable and sometimes does not have an attractor. Examples are the renormalization operator for general smooth dynamics, such as unimodal dynamics, circle dynamics, Cherry dynamics, Lorenz dynamics, Hénon dynamics, etc. A general method to construct invariant manifolds of non-differentiable non-linear operators is presented. An application is that the $\mathcal C^{4+ε}$ Fibonacci Cherry maps form a $\mathcal C^1$ codimension one manifold.

研究动机与目标

• 为光滑动力系统中非可微算子建立一个通用的不变流形定理，尤其适用于经典定理失效的情形。
• 解决在如单模、Cherry、Lorenz 和 Hénon 动力系统等光滑系统中，重整化算子缺乏可微性和吸引子的问题。
• 证明在光滑动力系统中，拓扑类（特别是 Fibonacci Cherry 映射）尽管其重整化过程不可微，仍为光滑流形。
• 建立一个分析具有相同拓扑结构的系统之间共轭映射几何刚性的框架。

提出的方法

• 引入‘跳出可微性’作为经典可微性的较弱替代，使在非光滑情形下也能实现类似导数的控制。
• 使用具有Lipschitz正则性的曲线动力学，替代可微性，以分析分解系统上的图变换方法。
• 通过将系统分解为 $\varphi^r$、$\varphi^l$ 两部分，使重整化过程具备跳出可微性。
• 通过图变换方法构造不变流形，依赖于在 $X_2$ 上偏导数 $D_{rs}$ 和 $D_{rl}$ 的一致有界性。
• 建立导数算子的连续性及Hölder型估计：$ \left| \tilde{\varphi}^r(\underline{f}+\Delta\underline{\varphi}) - [\tilde{\varphi}^r(\underline{f}) + D\Delta\underline{\varphi}] \right|_2 = O_{\underline{f}}(|\Delta\underline{\varphi}|_2^{1+\epsilon}) $。
• 证明偏导数 $ \frac{\partial\tilde{\varphi}^r_\tau}{\partial\varphi_{\tau'}} $ 可延拓为 $ X_2 \to X_2 $ 上的一致有界算子 $ D_{rs}, D_{rl} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在光滑动力系统中，为不可微的重整化算子构造不变流形？
• RQ2 尽管重整化过程不可微，$\mathcal{C}^{4+\epsilon}$ Fibonacci Cherry 映射的空间是否仍为光滑流形？
• RQ3 系统间的拓扑共轭是否蕴含几何刚性，即共轭映射是否具有 $\mathcal{C}^{1+\beta}$ 正则性？
• RQ4 经典不变流形定理能否推广至不可微和非双曲的设定之外？
• RQ5 当不存在吸引子时，何种定量条件可保证不变流形的存在性？

主要发现

• 根据定理6.1，$\mathcal{C}^{4+\epsilon}$ Fibonacci Cherry 映射构成一个 $\mathcal{C}^1$ 余维数为一的流形。
• Fibonacci Cherry 动力系统的重整化算子不可微且无吸引子，但不变流形依然存在。
• 偏导数 $ \frac{\partial\tilde{\varphi}^r_\tau}{\partial\varphi_{\tau'}} $ 一致有界，并可延拓为 $ X_2 $ 上的有界算子 $ D_{rs}, D_{rl} $。
• 重整化映射对扰动的依赖关系满足Hölder型估计：$ \left| \tilde{\varphi}^r(\underline{f}+\Delta\underline{\varphi}) - [\tilde{\varphi}^r(\underline{f}) + D\Delta\underline{\varphi}] \right|_2 = O_{\underline{f}}(|\Delta\underline{\varphi}|_2^{1+\epsilon}) $。
• 该方法广泛适用于光滑一维动力系统、Hénon 动力系统以及其他因不可微性而使经典定理失效的系统。