[论文解读] Invariant Means

Alan Horwitz|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2000

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文引入了对称均值在多变量情形下的两种新不变性性质——类型1与类型2。证明了对于任意严格且单调的二元均值 m，存在唯一的三元均值 M，使得 M 关于 m 满足类型1不变性；类似地，对于给定的三元均值 M，存在唯一的二元均值 m，使得 m 满足类型2不变性。结果表明，三元对数均值 L₃ 关于二元对数均值 L(a,b) 满足类型1不变性，但不满足类型2不变性。

ABSTRACT

Let m(a,b) and M(a,b,c) be symmetric means. We say that M is type 1 invariant with respect to m if M(m(a,c),m(a,b),m(b,c)) = M(a,b,c) for all a, b, c > 0. If m is strict and isotone, then we show that there exists a unique M which is type 1 invariant with respect to m. In particular we discuss the invariant logarithmic mean L_3, which is type 1 invariant with respect to L(a,b) = (b-a)/(log b-log a). We say that M is type 2 invariant with respect to m if M(a,b,m(a,b)) = m(a,b) for all a, b > 0. We also prove existence and uniqueness results for type 2 invariance, given the mean M(a,b,c). The arithmetic, geometric, and harmonic means in two and three variables satisfy both type 1 and type 2 invariance. There are means m and M such that M is type 2 invariant with respect to m, but not type 1 invariant with respect to m(for example, the Lehmer means). L_3 is type 1 invariant with respect to L, but not type 2 invariant with respect to L.

研究动机与目标

• 定义并分析对称均值在二元与三元变量中的两种新不变性性质——类型1与类型2。
• 建立在何种条件下，存在唯一的三元均值 M，使其关于给定的二元均值 m 满足类型1不变性。
• 研究在何种条件下，二元均值 m 关于给定的三元均值 M 满足类型2不变性。
• 考察经典均值——算术均值、几何均值、调和均值、对数均值与莱默均值——与这些不变性性质之间的关系。
• 确定三元对数均值 L₃ 是否关于二元对数均值 L(a,b) 同时满足两种不变性类型。

提出的方法

• 将类型1不变性定义为：对所有 a, b, c > 0，有 M(m(a,c), m(a,b), m(b,c)) = M(a,b,c)。
• 将类型2不变性定义为：对所有 a, b > 0，有 M(a,b,m(a,b)) = m(a,b)。
• 利用二元均值 m 的严格性与单调性性质，证明对于类型1不变性，对应的三元均值 M 的存在性与唯一性。
• 采用类似推理，证明在给定三元均值 M 的条件下，类型2不变性下对应二元均值 m 的存在性与唯一性。
• 分析特定均值（如二元对数均值 L(a,b) 与三元对数均值 L₃，以及莱默均值）以检验其不变性性质。
• 比较经典均值在两种不变性类型下的行为，识别出仅满足一种而不满足另一种的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在唯一的三元均值 M，使其关于给定的二元均值 m 满足类型1不变性？
• RQ2 三元均值 M 是否可以关于二元均值 m 满足类型2不变性？在何种条件下这种关系是唯一的？
• RQ3 三元对数均值 L₃ 是否关于二元对数均值 L(a,b) 满足类型1不变性？
• RQ4 三元对数均值 L₃ 是否关于二元对数均值 L(a,b) 满足类型2不变性？
• RQ5 是否存在均值 m 与 M，使得 M 关于 m 满足类型2不变性但不满足类型1不变性？

主要发现

• 对于任意严格且单调的二元均值 m，存在唯一的三元均值 M，使其关于 m 满足类型1不变性。
• 三元对数均值 L₃ 关于二元对数均值 L(a,b) = (b−a)/(log b−log a) 满足类型1不变性。
• 三元对数均值 L₃ 不关于二元对数均值 L(a,b) 满足类型2不变性。
• 存在均值 m 与 M，使得 M 关于 m 满足类型2不变性但不满足类型1不变性，此结论由莱默均值所证实。
• 算术均值、几何均值与调和均值在二元与三元情形下均同时满足类型1与类型2不变性。