[论文解读] Invariant Measures and Orbit Closures on Homogeneous Spaces for Actions of Subgroups Generated by Unipotent Elements

Nimish A. Shah|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 35

一句话总结

该论文将Ratner关于单参数幂零流的定理推广至李群齐次空间中由幂零元素生成的子群。证明了在 $G/\Gamma$ 上，$W$-不变的有限遍历测度是齐次的（即支撑在闭 $H$-轨道上），且此类 $W$-作用下的轨道闭包也是齐次集——将Ratner的结果从单参数幂零子群推广到更广泛的代数结构。

ABSTRACT

The theorems of M. Ratner, describing the finite ergodic invariant measures and the orbit closures for unipotent flows on homogeneous spaces of Lie groups, are extended for actions of subgroups generated by unipotent elements. More precisely: Let G be a Lie group (not necessarily connected) and Gamma a closed subgroup of G. Let W be a subgroup of G such that Ad(W) is contained in the Zariski closure (in the group of automorphisms of the Lie algebra of G) of the subgroup generated by the unipotent elements of Ad(W). Then any finite ergodic invariant measure for the action of W on G/Gamma is a homogeneous measure (i.e., it is supported on a closed orbit of a subgroup preserving the measure). Moreover, if G/Gamma has finite volume (i.e., has a finite G-invariant measure), then the closure of any orbit of W on G/Gamma is a homogeneous set (i.e., a finite volume closed orbit of a subgroup containing W). Both the above results hold if W is replaced by any subgroup Lambda of W such that W/Lambda has finite volume.

研究动机与目标

• 将Ratner关于幂零流的定理推广至由幂零元素生成的子群 $W$，而不仅限于单参数幂零子群。
• 解决Margulis的猜想：此类子群的有限不变测度与轨道闭包均为齐次。
• 证明在有限体积齐次空间 $G/\Gamma$ 上，$W$-不变的遍历测度必支撑于包含 $W$ 的更大子群 $H \supset W$ 的闭轨道上。
• 证明即使 $G$ 不连通，$W$-作用下的轨道闭包也是包含 $W$ 的子群的有限体积闭轨道。
• 将结果推广至子群 $\Lambda \subset W$，其中 $W/\Lambda$ 具有有限体积，且保持测度与轨道闭包的齐次性。

提出的方法

• 使用伴随表示 $\operatorname{Ad}_G$ 定义 $\operatorname{Ad}_G$-幂零元素与子群。
• 在 $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ 中应用Zariski闭包，以刻画其伴随像包含于幂零生成子群Zariski闭包中的子群 $W$。
• 以Ratner原始定理（针对单参数幂零流）作为基础工具。
• 采用悬垂技巧，并将问题约化至中心平凡且无紧因子的半单群情形。
• 利用Hedlund引理由遍历测度与轨道闭包的联系：$\overline{Wx} = \operatorname{supp}(\mu)$ $\mu$-几乎处处成立。
• 应用Borel的密度定理及Zariski稠密性结果，以证明商映射下轨道像的闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $W$ 由 $\operatorname{Ad}_G$-幂零元素生成时，$G/\Gamma$ 上的有限 $W$-不变 $W$-遍历测度是否必为齐次？
• RQ2 在有限体积齐次空间 $G/\Gamma$ 中，$W$-轨道闭包 $\overline{Wx}$ 是否与包含 $W$ 的更大子群 $H \supset W$ 的闭轨道一致？
• RQ3 当 $G/\Gamma$ 具有有限 $G$-不变测度时，所有局部有限的 $W$-不变遍历测度是否均为有限测度？
• RQ4 结果能否从 $W$ 推广至子群 $\Lambda \subset W$，其中 $W/\Lambda$ 具有有限体积？
• RQ5 对于Zariski闭包由未必属于 $H$ 的幂零元素生成的子群 $H$，其轨道闭包与不变测度的结构如何？

主要发现

• 任何 $G/\Gamma$ 上的有限 $W$-不变 $W$-遍历测度均支撑于包含 $W$ 的子群 $H \supset W$ 的闭轨道上，且该测度为 $H$-不变。
• 若 $G/\Gamma$ 具有有限 $G$-不变测度，则任一 $W$-轨道的闭包均为包含 $W$ 的子群 $F \supset W$ 的有限体积闭轨道。
• 对任意 $x \in G/\Gamma$，存在闭子群 $F \supset W$ 使得 $\overline{Wx} = Fx$，且 $F^0x$ 具有有限的 $F^0$-不变测度。
• 当 $W/\Lambda$ 具有有限体积时，$W$ 的结果可推广至 $\Lambda$，且局部有限的 $\Lambda$-不变遍历测度为有限测度。
• 在给定条件下，所有此类测度为有限且轨道闭包具有有限多个连通分支的猜想等价。
• 结果可约化至中心平凡且无紧因子的半单群情形，其中对高秩群，该猜想仍为开放问题，尽管Eskin与Margulis后来证明了猜想1.2。