[论文解读] Invariant Measures for TASEP with a Slow Bond

Riddhipratim Basu, Sourav Sarkar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文嚴謹地證明了關於TASEP在原點處存在慢鍵時不變測度的Liggett猜想，顯示系統在遠離原點處漸近收斂至與不同密度的產品測度接近的靜止測度（右側密度 $\rho < 1/2$，左側密度 $\rho' > 1/2$）。作者透過指數權重的最後通過每通模型之幾何方法，分析地圖路徑的併合與釘住現象，以證明相關性衰減與混合性，確認即使慢鍵的微觀強度極小，其仍會產生長程效應。

ABSTRACT

Totally Asymmetric Simple Exclusion Process (TASEP) on $\mathbb{Z}$ is one of the classical exactly solvable models in the KPZ universality class. We study the "slow bond" model, where TASEP on $\mathbb{Z}$ is imputed with a slow bond at the origin. The slow bond increases the particle density immediately to its left and decreases the particle density immediately to its right. Whether or not this effect is detectable in the macroscopic current started from the step initial condition has attracted much interest over the years and this question was settled recently (Basu, Sidoravicius, Sly (2014)) by showing that the current is reduced even for arbitrarily small strength of the defect. Following non-rigorous physics arguments (Janowsky, Lebowitz (1992, 1994)) and some unpublished works by Bramson, a conjectural description of properties of invariant measures of TASEP with a slow bond at the origin was provided in Liggett's 1999 book. We establish Liggett's conjectures and in particular show that TASEP with a slow bond at the origin, started from step initial condition, converges in law to an invariant measure that is asymptotically close to product measures with different densities far away from the origin towards left and right. Our proof exploits the correspondence between TASEP and the last passage percolation on $\mathbb{Z}^2$ with exponential weights and uses the understanding of geometry of maximal paths in those models.

研究动机与目标

• 嚴謹確認Liggett關於TASEP在原點處存在慢鍵時不變測度結構的猜想。
• 展示由階梯初始條件產生的不變測度在原點兩側漸近接近不同密度的產品測度。
• 建立慢鍵雖微弱但會引發可觀測的長程相關性，即使缺陷強度任意小亦成立。
• 將最後通過每通模型中的幾何技術延伸至分析慢鍵存在下的地圖路徑行為與相關性衰減。
• 顯示過程收斂至一在空間無窮遠處漸近等價於原始產品測度的靜止測度。

提出的方法

• 利用TASEP與具有指數通過時間的 $\mathbb{Z}^2$ 上有向最後通過每通模型（DLPP）之間的對應關係。
• 分析DLPP模型中地圖路徑（最大路徑）的幾何性質，以研究原點處慢鍵的影響。
• 應用慢鍵模型中點對點地圖路徑釘住現象的定量估計，以建立相關性衰減與混合性。
• 運用地圖路徑併合結果，包括定理1.8，比較慢鍵模型與標準TASEP模型中的路徑。
• 使用具有慢鍵的TASEP與密度為 $p$ 的靜止TASEP之間的耦合論證，以證明總變異距離下佔據測度的收斂性。
• 應用地圖路徑在大尺度下的漸近分析，從 $(n+k,n)$ 到直線 $y = -\frac{p}{1-p}x$，顯示當 $n \gg k \gg 1$ 時，其行為類似於具有恆定斜率的直線。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有慢鍵的TASEP在原點處之不變測度是否在空間無窮遠處漸近收斂至左右密度不同的產品測度？
• RQ2 即使慢鍵的微觀強度極小，其長程效應是否能在宏觀靜止分佈中被嚴謹確認？
• RQ3 具有慢鍵的最後通過每通模型中地圖路徑與標準模型中的地圖路徑有何差異？這對粒子相關性衰減有何含義？
• RQ4 具有慢鍵的TASEP之極限不變測度是否在 $\pm\infty$ 處漸近等價於原始產品測度？
• RQ5 DLPP模型中地圖路徑的哪些幾何性質可確保不變測度的存在與結構？

主要发现

• 具有慢鍵的TASEP之不變測度在依機率收斂下趨近於一測度，該測度在原點右側漸近接近密度 $\rho < 1/2$ 的產品測度，左側則接近 $\rho' > 1/2$ 的產品測度。
• 即使缺陷強度任意小，慢鍵仍會導致宏觀電流減少，透過不變測度分析確認了[5]的結果。
• 從遠離原點的點到直線 $y = -\frac{p}{1-p}x$ 的地圖路徑僅在對角線上停留 $O(1)$ 時間，表示其漸近為直線，且對慢鍵的影響不敏感。
• 透過地圖路徑釘住與併合的定量估計，建立相關性衰減與混合性，確保極限不變測度的存在。
• 對於初始產品測度 $\text{Ber}(p)$，其極限不變測度 $\nu_p^*$ 在 $\pm\infty$ 處漸近等價於 $\nu_p$，確認了所 conjecture 的結構。
• 透過耦合論證顯示，大時間下具有慢鍵的TASEP之佔據測度在總變異距離下接近於密度為 $p$ 的靜止TASEP之佔據測度，暗示其收斂至 $\nu_p^*$。