[论文解读] Invariant Measures, Hausdorff Dimension and Dimension Drop of some Harmonic Measures on Galton-Watson Trees

Pierre Rousselin|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了构造标记Galton-Watson树上显式不变测度的代数条件，从而能够计算$λ$-偏差随机游走和随机长度随机游走的调和测度的Hausdorff维数。在两种情况下均建立了维数下降现象，并给出了调和测度维数的显式公式，而以往的结果是非构造性的。

ABSTRACT

We consider infinite Galton-Watson trees without leaves together with i.i.d.~random variables called marks on each of their vertices. We define a class of flow rules on marked Galton-Watson trees for which we are able, under some algebraic assumptions, to build explicit invariant measures. We apply this result, together with the ergodic theory on Galton-Watson trees developed in \\cite{LPP95}, to the computation of Hausdorff dimensions of harmonic measures in two cases. The first one is the harmonic measure of the (transient) $\\lambda$-biased random walk on Galton-Watson trees, for which the invariant measure and the dimension were not explicitly known. The second case is a model of random walk on a Galton-Watson trees with random lengths for which we compute the dimensions of the harmonic measure and show dimension drop phenomenon for the natural metric on the boundary and another metric that depends on the random lengths.

研究动机与目标

• 在函数$\phi$的代数条件下，为标记Galton-Watson树上的一类流规则构造显式不变测度。
• 将Galton-Watson树上的遍历理论推广，以计算调和测度的Hausdorff维数。
• 解决在超临界Galton-Watson树上$λ$-偏差随机游走中，不变测度和维数的显式公式缺失的问题。
• 分析在Galton-Watson树上具有随机边长的模型中的维数下降现象。

提出的方法

• 使用定义在子树上的正函数$\phi$来确定随机射线的转移概率，从而在标记Galton-Watson树上定义一个流规则。
• 在$\phi$上建立充分的代数条件，以确保存在相对于Galton-Watson测度绝对连续的显式不变测度。
• 应用[12]中的遍历理论，将不变测度与随机游走的调和测度联系起来。
• 利用由流规则诱导的标记树上的马尔可夫链，分析其长期行为和维数性质。
• 利用对称性以及均匀随机变量和电导函数之间的随机恒等式来计算期望。
• 通过Tonelli定理和函数$h(x,y,z) = \frac{xyz}{xy+yz+xz - x - y - z + 1}$的函数恒等式，验证维数公式的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数$\phi$的代数条件下，能否为标记Galton-Watson树上的流规则构造显式不变测度？
• RQ2 在超临界Galton-Watson树上的$λ$-偏差随机游走中，调和测度的Hausdorff维数是多少？是否存在维数下降现象？
• RQ3 在Galton-Watson树上引入随机边长后，调和测度的Hausdorff维数和维数下降现象如何变化？
• RQ4 $λ$-偏差随机游走在Galton-Watson树上的不变测度是否可显式计算？它与调和测度有何关系？
• RQ5 在具有随机边长的模型中，能否使用同一框架计算调和测度的维数？

主要发现

• 本文在$\phi$的指定代数条件下，为标记Galton-Watson树上的一类流规则构造了显式不变测度。
• 对于超临界Galton-Watson树上的$λ$-偏差随机游走，调和测度的Hausdorff维数被显式计算出来，证实了维数下降现象。
• 在具有随机边长的模型中，无论是在自然度量下还是在长度依赖度量下，调和测度均表现出维数下降。
• 通过证明调和测度的Hausdorff维数严格小于全边界维数，对维数下降现象进行了定量刻画。
• 通过涉及均匀随机变量和电导对称函数的随机恒等式，验证了所推导维数公式的自洽性。
• 该方法为在以往结果为非构造性的情况下（特别是$\lambda \neq 1$时）计算维数提供了一个通用框架。