[论文解读] Invariant measures on the circle and functional equations

Christopher Deninger|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过全纯函数中的函数方程，特别是 Nevanlinna 类和广义 Hardy 空间，研究单位圆周 $\mathbb{T}$ 上 $\varphi_N$-不变概率测度。它证明了函数方程 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ 的非平凡解为奇异内函数的商，并通过解空间与有界 $\kappa_s$-变差预测度之间的一种新颖同构，刻画了在多个自同态 $\varphi_N$ 和 $\varphi_M$（其中 $N$ 与 $M$ 互素）下的同时不变性。

ABSTRACT

It is well known that real measures on the circle are characterized by their Herglotz transform, an analytic function in the unit disc. Invariance of the measure under N-multiplication translates into a functional equation for the Herglotz transform. Using elements from the theory of Hardy spaces one gets a somewhat surprising condition for a sequence of complex numbers to be the Fourier coefficients of an N-invariant measure. Next, starting from any atomless measure on the circle we construct atomless premesures of bounded kappa-variation in the sense of Korenblum which are invariant under s given pairwise prime integers. The relevant function kappa is a generalized entropy function depending on s. The proof uses Korenblum's generalized Nevanlinna theory. Passing to "kappa-singular measures" and extending these to elements in a Grothendieck group of possibly unbounded measures on the circle, one obtains generalized invariant measures which are carried by "kappa-Carleson" sets. The range of this construction depends on interesting questions about cyclicty in growth algebras of analytic functions on the unit disc. We also describe some very formal relations with Witt vectors. For example the Artin-Hasse p-exponential "is" a p-invariant premeasure of bounded kappa_1 variation.

研究动机与目标

• 通过全纯函数中的函数方程刻画单位圆周 $\mathbb{T}$ 上 $\varphi_N$-不变概率测度。
• 理解函数方程 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ 在 Nevanlinna 类 $\mathcal{N}$ 中解的结构。
• 通过由此类 $N$ 生成的幺半群，将分析扩展到多个自同态 $\varphi_N$ 和 $\varphi_M$（$N$ 与 $M$ 互素）下的同时不变性。
• 将解与有界 $\kappa_s$-变差的广义预测度空间联系起来，特别是 $s=1$ 的情形，并通过 $\Psi_{{\mathcal{S}}}$ 和 $\Phi_{{\mathcal{S}}}$ 映射刻画其解析对应物。
• 证明某些整函数如 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ 作为非测度预测度的 Weierstrass 变换出现，并证明其 $p$-整性与幂等性。

提出的方法

• 本文使用 Herglotz 变换 $h_\mu(z) = \int_{\mathbb{T}} \frac{\zeta + z}{\zeta - z} d\mu(\zeta)$，为 $\mathbb{T}$ 上的每个测度 $\mu$ 关联一个全纯函数 $f_\mu = \exp(-h_\mu)$，将测度的不变性与函数方程联系起来。
• 它证明了 $\mu$ 的 $\varphi_N$-不变性等价于在 Nevanlinna 类 $\mathcal{N}$ 中，对 $f = f\_\mu$ 有函数方程 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$。
• 通过互逆同构 $\Psi_{\mathcal{S}}$ 和 $\Phi_{\mathcal{S}}$ 研究了在乘法半群 $\mathcal{S}$（由两两互素的整数构成）中所有 $N$ 均满足函数方程的解空间 $H^0(\mathcal{S}, \mathcal{O}^1)$，其中 $\Phi_{\mathcal{S}}(f)(z) = f(z)/f(z^N)$，$\Psi_{\mathcal{S}}(\alpha)(z) = \prod_{\nu=0}^\infty \alpha(z^{N^\nu})$。
• 本文引入了由增长估计 $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$ 定义的广义增长类 $\mathcal{N}_s$，并证明 $\Psi_{\mathcal{S}}(Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1)) \subset H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$，将解析增长与测度的奇异性联系起来。
• 它应用 Korenblum 理论将 $\mathcal{N}^1_s$ 的元素识别为有界 $\kappa_s$-变差的实预测度，其中 $\kappa_s(x) = x \sum_{\nu=0}^s \frac{1}{\nu!} |\log x|^\nu$，并利用此结果刻画 $\varphi_N$-不变预测度。
• 将函数 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ 构造为非测度预测度 $\mu$ 的 Weierstrass 变换（$w(\mu) = E_N$）是核心内容，且证明 $\mu$ 无原子、$N$-不变、幂等，且不是带符号测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 Nevanlinna 类 $\mathcal{N}$ 中的全纯函数满足给定 $N \geq 2$ 的函数方程 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$，其结构如何？
• RQ2 对于由两两互素整数 $N_1, \dots, N_s$ 生成的乘法半群 $\mathcal{S}$，函数方程的解空间如何刻画？$\Psi_{\mathcal{S}}$ 和 $\Phi_{\mathcal{S}}$ 同构的作用是什么？
• RQ3 在 $\mathcal{N}^1_s$ 中全纯函数的增长与圆周上相关预测度的 $\kappa_s$-变差之间有何关系？
• RQ4 函数 $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ 能否被实现为某个预测度的 Weierstrass 变换？该预测度具有哪些性质？
• RQ5 是否存在一个非测度预测度 $\mu$ 在 $\mathbb{T}$ 上，使得 $\mu$ 是 $\varphi_N$-不变的，$\mu * \mu = \mu$，且 $w(\mu) = E_N$？

主要发现

• 任何非零函数 $f \in \mathcal{N}$ 满足函数方程 $f(z^N)^N = \prod_{\zeta^N=1} f(\zeta z)$ 必为奇异内函数的商；Blaschke 乘积和 $\mathcal{N}$ 中的外函数仅在为常数时才能满足该方程。
• $\Psi_{\mathcal{S}}: Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1) \to H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$ 是良定义的，且满足 $\Psi_{\mathcal{S}}(Z(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1)) \subset H^0(\mathcal{S}, \mathcal{N}^1_s)$，其中 $\mathcal{N}^1_s$ 由增长估计 $|g(z)| \leq a_g \exp(r_g \log^s(1 - |z|)^{-1})$ 定义。
• 当 $s=1$ 时，类 $\mathcal{N}^1_1$ 对应于型为 $O((1 - |z|)^{-r})$ 的指数型函数，且与有界 $\kappa_1$-变差的预测度一一对应，其中 $\kappa_1(x) = x(1 + |\log x|)$。
• $E_N = \exp(\sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}/N^\nu)$ 是 $p$-整的，且在圆周乘积 $\odot$ 下幂等，且为某个唯一预测度 $\mu$ 的 $w(\mu)$，满足 $\mu \in P^+_{\kappa_1}(\mathbb{T}) \cap P^-_{\kappa_1}(\mathbb{T})$，$N_*\mu = \mu$，且 $\mu * \mu = \mu$。
• $\mu$ 无原子，$\varphi_N$-不变，且不是带符号测度；其 Herglotz 变换为 $h_\mu(z) = -2 \sum_{\nu=0}^\infty z^{N^\nu}$，且 $f_\mu = \exp(-h_\mu) = \prod_{\nu=0}^\infty \exp(2z^{N^\nu})$ 是 $\mathcal{A}_1$ 中的单位元，但不属于 $\mathcal{N}$。
• $\kappa_1$-奇异测度 $\mu_s = \sigma_{f_\mu}$ 恒为零，且测度 $\mu$ 不可能是带符号测度，因为其关联函数 $\sigma = \Phi_{\mathcal{S}}(\mu)$ 是绝对连续的，与测度所需奇异性矛盾。