[论文解读] Invariant metrics on negatively pinched complete Kähler manifolds

Damin Wu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文证明了在全纯截面曲率被两个负常数夹住的完备凯勒流形上，存在且唯一存在一个完备的凯勒-爱因斯坦度量。通过引入一种新颖的复蒙日-安培方程，涉及凯勒类 $ t\omega - \text{Ric}(\omega) $，本文证明了凯勒-爱因斯坦度量、科巴亚希-鲁伊登度量、伯格曼度量与背景凯勒度量之间的统一等价性，从而证实了格林和吴关于负截面曲率流形的两个长期猜想。

ABSTRACT

We prove that a complete Kähler manifold with holomorphic curvature bounded between two negative constants admits a unique complete Kähler-Einstein metric. We also show this metric and the Kobayashi-Royden metric are both uniformly equivalent to the background Kähler metric. Furthermore, all three metrics are shown to be uniformly equivalent to the Bergman metric, if the complete Kähler manifold is simply-connected, with the sectional curvature bounded between two negative constants. In particular, we confirm two conjectures of R. E. Greene and H. Wu posted in 1979.

研究动机与目标

• 解决R. E. 格林与H. 吴（1979年）提出的关于负截面曲率完备凯勒流形上不变度量统一等价性的两个猜想。
• 在全纯截面曲率介于两个负常数之间的完备凯勒流形上，建立完备凯勒-爱因斯坦度量的存在性与唯一性。
• 在适当的曲率条件下，证明凯勒-爱因斯坦度量、科巴亚希-鲁伊登度量、伯格曼度量与背景凯勒度量之间的统一等价性。
• 推广此前关于非紧凯勒-爱因斯坦度量的结果，消除对背景度量里 Ricci 曲率符号假设的依赖。

提出的方法

• 引入一种新型复蒙日-安培型方程，涉及凯勒类 $ t\omega - \text{Ric}(\omega) $，而非 $ \omega $，以构造凯勒-爱因斯坦度量。
• 应用广义最大值原理，对蒙日-安培方程的解 $ u $ 推导先验估计，确保 $ u $、其导数及度量分量的统一有界。
• 运用拟有界几何技术，将局部估计扩展至整个流形上的全局 $ C^{k+2,\alpha} $ 正则性，从而可应用隐函数定理。
• 通过证明凯勒-爱因斯坦度量 $ \omega_{\text{KE}} $ 满足 $ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $，其中常数 $ C $ 仅依赖于维数、$ \kappa_1 $ 与 $ \kappa_2 $，来建立度量之间的统一等价性。
• 利用第二作者提出的广义最大值原理与曲率估计，控制数量曲率与度量张量的迹，确保曲率及其导数有界。
• 通过隐函数定理与阿斯科利-阿尔泽拉定理，证明解集的闭性，从而在 $ t = 0 $ 处建立存在性，对应凯勒-爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个全纯截面曲率介于两个负常数之间的完备凯勒流形是否允许存在唯一的完备凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ2 在这样的曲率条件下，科巴亚希-鲁伊登度量与背景凯勒度量是否统一等价？
• RQ3 在单连通、完备的凯勒流形上，若截面曲率介于两个负常数之间，伯格曼度量是否与背景凯勒度量统一等价？
• RQ4 能否在不假设背景度量 Ricci 曲率符号的条件下构造凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ5 在负全纯截面曲率的有界条件下，所有经典不变度量——科巴亚希-鲁伊登度量、伯格曼度量、凯勒-爱因斯坦度量与背景凯勒度量——是否仍保持统一等价？

主要发现

• 若全纯截面曲率满足 $ -\kappa_2 \leq H(\omega) \leq -\kappa_1 $，其中 $ \kappa_1, \kappa_2 > 0 $，则完备凯勒流形上存在唯一的完备凯勒-爱因斯坦度量 $ \omega_{\text{KE}} $，其 Ricci 曲率为 $ -1 $。
• 凯勒-爱因斯坦度量 $ \omega_{\text{KE}} $ 与背景凯勒度量 $ \omega $ 统一等价，满足 $ C^{-1}\omega \leq \omega_{\text{KE}} \leq C\omega $，其中常数 $ C $ 仅依赖于 $ \dim M $、$ \kappa_1 $ 与 $ \kappa_2 $。
• 度量 $ \omega_{\text{KE}} $ 的曲率张量的所有协变导数在 $ M $ 上有统一有界，其界仅依赖于导数阶数、$ \dim M $、$ \kappa_1 $ 与 $ \kappa_2 $。
• 科巴亚希-鲁伊登度量 $ \mathfrak{K} $ 与背景凯勒度量 $ \omega $ 统一等价，满足对所有 $ x \in M $、$ \xi \in T^{1,0}_xM $ 有 $ C^{-1}|\xi|_\omega \leq \mathfrak{K}(x,\xi) \leq C|\xi|_\omega $。
• 在单连通、完备的凯勒流形上，若截面曲率介于两个负常数之间，则伯格曼度量与背景凯勒度量以及所有其他不变度量统一等价。
• 本文证实了格林与吴（1979年）的两个猜想：在负曲率有界条件下，科巴亚希-鲁伊登度量与伯格曼度量与背景度量统一等价。