[论文解读] Invariant Nonrecurrent Fatou Components of Automorphisms of $C^2$

Daniel C. Jupiter, Krastio Lilov|ArXiv.org|Sep 16, 2003

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究 ℂ² 中解析自同构的不变非循环 Fatou 分量，聚焦于迭代过程中极限映射的结构。若存在多个常值极限映射，其像构成边界上一个不可数且完备的集合，要求雅可比谱中具有特定的非丢番图旋转数。对于非平凡的秩-1 极限映射，其像为在边界内相交仅平凡或开放的浸入复流形。

ABSTRACT

We examine invariant nonrecurrent Fatou components of automorphisms of $\mathbb{C}^2$ in the case where all limit maps are constant. We show that except in special cases there cannot be more than one such limit map. We also briefly examine such Fatou components where the limit maps may be nonconstant. Lastly we present a few examples of such Fatou components.

研究动机与目标

• 对 ℂ² 解析自同构中不变非循环 Fatou 分量的结构进行分类。
• 分析迭代过程中产生的极限映射的性质——包括常值（秩 0）与非平凡（秩 1）极限映射。
• 确定极限映射集合的拓扑与动力学约束，尤其在存在多个此类映射时。
• 建立多项式自同构能否或不能拥有此类分量的条件。
• 构造显式示例，展示这些动力学行为。

提出的方法

• 在 Fatou 分量 Ω 内构造 F-不变曲线，以分析固定点集附近的动力学。
• 应用正规族与收敛定理，从 {Fⁿ|Ω} 的子列中提取极限映射 h: Ω → ℂ²。
• 当特征值满足丢番图条件时，利用不变流形理论构建横截流形族。
• 使用全纯延拓技术，分析秩-1 极限映射的像作为 ∂Ω 中的浸入复流形。
• 应用幅角原理，证明在特定示例中极限映射在 w 轴上是满射。
• 采用坐标变换与渐近展开，估计迭代下坐标的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种动力学条件下，ℂ² 中的不变非循环 Fatou 分量可支持多个常值极限映射？
• RQ2 多个常值极限映射存在的拓扑与谱条件为何？
• RQ3 非平凡秩-1 极限映射的像在 Fatou 分量边界内如何相交？
• RQ4 ℂ² 的多项式自同构能否拥有具有多个秩-0 极限映射的不变非循环 Fatou 分量？
• RQ5 旋转数 θ 在决定示例中极限映射的数量与性质方面起何作用？

主要发现

• 若存在多个常值极限映射，则其像的集合不可数且无孤立点。
• 常值极限映射的像位于 F 的固定点集的一个一维子流形中，且包含于 ∂Ω。
• 仅当 F 的导数具有特征值 1 和 e^{i2πθ} 且 θ 为非丢番图数时，才可能存在多个常值极限映射。
• 对于秩-1 极限映射，其像为 ∂Ω 中的浸入复流形，其相交关系或为平凡，或为每个流形中一个开子集。
• 在构造的示例中，极限映射 h: Ω → ℂ² 的秩为 1，且在紧子集上一致收敛于 w 轴，且为满射。
• 多项式自同构不能拥有具有多个秩-0 极限映射的不变非循环 Fatou 分量；此类分量仅存在于 Hénon 映射中。