[论文解读] Invariant Orders on Hermitian Lie Groups

Gabi Ben Simon, Tobias Hartnick|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文建立了 $π_1(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$ 的普遍覆叠群以及更一般的典型域型酉李群上三种不同的双不变偏序——几何序、李半群序与最大序——之间的等价性。通过包含关系证明了这些序一致，其中最大序由平移数拟同态定义，并证明李半群序是共轭不变子半群中的极大者，且可由单个连续函数定义。

ABSTRACT

We study three natural bi-invariant partial orders on a certain covering group of the automorphism group of a bounded symmetric domain of tube type; these orderings are defined using the geometry of the Shilov boundary, Lie semigroup theory and quasimorphisms respectively. Our main result shows that these orders are related by two inclusion relations. In the case of $SL_2(\R)$ we can show that they coincide.

研究动机与目标

• 研究 $π_1(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$ 的普遍覆叠群及更一般的酉李群上三种自然双不变偏序之间的关系。
• 确定在酉李群背景下，几何序、李半群序与最大序是否互异或等价。
• 证明李半群序是共轭不变子半群中的极大者，并可由单个连续函数定义。
• 通过 Maslov 拟同态将平移数概念推广至高秩酉李群。
• 通过对称空间理论中的统一框架，整合几何、李群理论与拟同态基序的排序方式。

提出的方法

• 通过群在实直线上的作用定义几何序，即提升 $π(1,1)$ 在 $S^1$ 上的边界作用。
• 利用李代数中唯一的 $π$-不变 pointed 凸锥对，指数化正锥以构造序半群，从而定义李半群序。
• 通过平移数拟同态 $T(g) = \lim_{n\to\infty} \frac{g^n.x - x}{n}$ 定义最大序，该拟同态生成一个极大共轭不变子半群 $G^{+}_{\max}$。
• 利用 Shilov 边界上的 Kaneyuki 因果结构，建立包含关系：$G^{+}_{\mathrm{geom}} \subset G^{+}_{\max}$ 与 $G^{+}_{\mathrm{cont}} \subset G^{+}_{\mathrm{geom}}$。
• 利用三重分解 $\mathfrak{g}(T_\Omega) = \mathfrak{g}_{-1} \oplus \mathfrak{g}_0 \oplus \mathfrak{g}_1$ 及 Cayley 变换，识别齐性空间 $\check{R} \cong H/P$，并将因果结构与非负定二次型锥联系起来。
• 通过证明商映射下正锥的原像为局部拓扑生成的李半群，证明 Kaneyuki 序的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $π_1(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$ 的普遍覆叠群上，几何序、李半群序与最大序是互异的还是等价的？
• RQ2 李半群序能否被刻画为共轭不变子半群中的极大者？
• RQ3 平移数拟同态是否在 $π_1(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$ 的普遍覆叠群上生成一个极大共轭不变子半群？
• RQ4 在高秩酉李群中，几何序、连续序与最大序之间有何关系？
• RQ5 能否用单个连续函数描述酉李群普遍覆叠群上的几何序？

主要发现

• 在 $π_1(\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$ 的普遍覆叠群上，几何序、李半群序与最大序完全一致，如命题 3.13 所证。
• 李半群 $G^+$ 是 $G$ 的共轭不变子半群中的极大者，且可由单个连续函数——平移数 $T$——描述。
• 通过拟同态 $T$ 定义的最大序 $G^{+}_{\max}$，精炼了几何序与李半群序。
• 酉李群普遍覆叠群上的几何序由其在拉格朗日子空间丛普遍覆叠上的作用诱导，其正性以非负定二次型锥为模型。
• Shilov 边界上的 Kaneyuki 因果结构在 $\check{R} \cong H/P$ 上诱导出一个连续序，且该序满足定义 4.2 中的连续性要求。
• 在 $\check{R}$ 上的连续序在反演意义下唯一，且满足 $x \preceq y \Leftrightarrow \exists g \in G^{+}_{\mathrm{cont}}: gx = y$，从而推出 $G^{+}_{\mathrm{cont}} \subset G^{+}_{\mathrm{geom}}$。