[论文解读] Invariant Properties of Fatou Set, Julia Set and Escaping Set of Holomorphic Semigroup

Bishnu Hari Subedi, Ajaya Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文建立了全纯半群动力系统中 Fatou 集、Julia 集和逃离集的不变性质，证明了对于具有有限类型生成元的阿贝尔亚纯半群，这些集合是 S-完全不变的。该研究将经典复动力系统推广至半群情形，表明在阿贝尔与有限类型条件下，所有半群元素的 Julia 集与逃离集完全一致。

ABSTRACT

In this paper, we prove that escaping set of transcendental semigroup is S-forward invariant. We also prove that if holomorphic semigroup is abelian, then Fatou set, Julia set and escaping set are S-completely invariant. We see certain cases and conditions that the holomorphic semigroup dynamics exhibits same dynamical behavior just like the classical complex dynamics. Frequently, we also examine certain amount of connection and contrast between classical complex dynamics and holomorphic semigroup dynamics.

研究动机与目标

• 将经典复动力系统推广至全纯半群，尤其关注动力集的不变性质。
• 研究 Fatou 集、Julia 集和逃离集在何种条件下表现出类似于单映射动力系统的性质。
• 确定在何种条件下 Julia 集与逃离集在阿贝尔半群中为 S-完全不变。
• 阐明有限类型与有界类型整函数在保持动力不变性中的作用。
• 比较并对比经典复动力系统与半群动力系统，尤其关注集合不变性与结构等价性。

提出的方法

• 将全纯半群定义为全纯映射有限复合下封闭的集合，区分有理半群与亚纯半群。
• 引入关键动力集：Fatou 集（正规性），Julia 集（Fatou 集的补集），以及逃离集（迭代发散至本性奇点的点集）。
• 应用 S-完全不变集的概念：若对所有 f ∈ S，均有 f(E) ⊆ E 且 f⁻¹(E) ⊇ E，则称集合 E 为 S-完全不变。
• 利用可交换性与有限类型条件分析不变性，借助 Poon 及 Eremenko-Lyubich 关于交换亚纯函数的研究结果。
• 证明对于具有有限类型生成元的阿贝尔半群，Julia 集与逃离集在所有半群元素中完全一致。
• 利用关于临界值、渐近值与奇异值的引理，刻画有限类型函数及其动力行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，亚纯半群 S 的逃离集是 S-前不变的？
• RQ2 在何种条件下，全纯半群的 Fatou 集、Julia 集与逃离集是 S-完全不变的？
• RQ3 在阿贝尔情形下，半群的动力集与其各生成元的动力集有何关系？
• RQ4 有限类型与有界类型整函数在保持 Julia 集与逃离集不变性方面起何作用？
• RQ5 阿贝尔半群结构在多大程度上确保了单个映射的动力集与整个半群动力集之间的结构等价性？

主要发现

• 亚纯半群 S 的逃离集 I(S) 是 S-前不变的，即对所有 f ∈ S，有 f(I(S)) ⊆ I(S)。
• 对于具有有限类型生成元的阿贝尔亚纯半群，Julia 集 J(S) 是 S-完全不变的，即对所有 f ∈ S，有 f(J(S)) ⊆ J(S) 且 f⁻¹(J(S)) ⊇ J(S)。
• 在具有有限类型生成元的阿贝尔亚纯半群中，对所有 f ∈ S，有 J(S) = J(f)，表明 Julia 集不依赖于生成元的选择。
• 类似地，对于此类半群，逃离集满足 I(S) = I(f) 对所有 f ∈ S 成立，表明逃离集在半群中保持不变。
• 证明依赖于有限类型函数在复合下封闭，且交换有限类型函数可保持其 Julia 集与逃离集不变。
• 在阿贝尔与有限类型条件下，该结果将经典单映射动力系统中的不变性质推广至半群动力系统。