[论文解读] Invariant pseudo Kaehler metrics in dimension four

Gabriela P. Ovando|ArXiv.org|Oct 8, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用 23

一句话总结

本文通过确定相应的凯勒李代数并参数化相容复结构与辛结构 $(J, \omega)$（模复同构），对四维单连通李群中存在不变伪凯勒度量的情形进行了分类。研究证明，在四维情形下，对于单模李代数，里奇平坦的伪凯勒度量等价于平坦度量，并在仿射李代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ 上构造了里奇平坦的伪凯勒结构，其中 $A$ 为交换复代数，包括 ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$ 等显式例子。主要贡献在于对这些结构的完整分类，以及在四维情形下对爱因斯坦与里奇平坦情形的识别。

ABSTRACT

Four dimensional simply connected Lie groups admitting a pseudo Kähler metric are determined. The corresponding Lie algebras are modelized and the compatible pairs $(J,ω)$ are parametrized up to complex isomorphism (where $J$ is a complex structure and $ω$ is a symplectic structure). Such structure gives rise to a pseudo Riemannian metric $g$ for which $J$ is parallel. It is proved that most of these complex homogeneous spaces admit a pseudo Kähler Einstein metric. Ricci flat and flat metrics are determined. In particular Ricci flat unimodular Kähler Lie algebras are flat in dimension four. Other algebraic and geometric features are treated. A general construction of Ricci flat pseudo Kähler structures in higher dimensions on some affine Lie algebras is given. Walker and hypersymplectic metrics on Lie algebras are compared.

研究动机与目标

• 对所有四维单连通李群中存在不变伪凯勒度量的情形进行分类。
• 对这些李代数上所有相容复结构与辛结构对 $(J, \omega)$ 进行参数化（模复同构）。
• 确定这些结构中哪些产生爱因斯坦或里奇平坦的伪凯勒度量。
• 建立几何与代数性质，包括识别沃克度量与超辛度量。
• 将里奇平坦伪凯勒结构的构造推广至更高维的仿射李代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$。

提出的方法

• 利用李群上左不变伪凯勒度量与凯勒李代数 $({\mathfrak{g}}, J, \omega)$ 之间的对应关系，其中 $J$ 为复结构，$\omega$ 为相容辛形式。
• 通过两类短正合列建模四维凯勒李代数：一类为正交直和，另一类为 $J$-不变子空间。
• 显式计算联络、曲率与里奇张量，以分析几何性质。
• 应用条件 $\nabla J = 0$ 与 $g(x,y) = \omega(Jx, y)$ 以定义伪黎曼度量 $g$。
• 利用仿射李代数 ${\mathfrak{aff}}(A) = A \oplus A$ 的结构（其中 $A$ 为交换复代数）构造新的里奇平坦伪凯勒度量。
• 通过分析存在全零化 $J$-不变子空间 $W$ 满足 $g(W,W) = 0$ 且 $\nabla_y W \subset W$ 的情形，比较沃克度量与超辛度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些四维单连通李群存在不变伪凯勒度量？
• RQ2 在何种条件下，四维李代数上的伪凯勒度量为里奇平坦或爱因斯坦？
• RQ3 沃克度量在李代数上何时成为超辛度量？
• RQ4 能否利用仿射李代数在更高维中构造里奇平坦伪凯勒结构？
• RQ5 交换复结构与李代数上相容辛形式存在的关系为何？

主要发现

• 在四维情形下，对于单模李代数，里奇平坦的伪凯勒度量等价于平坦度量，这意味着在此情况下，里奇平坦凯勒李代数是平坦的。
• 在四维凯勒李代数的11类家族中，有8类在其相容伪凯勒度量中存在爱因斯坦代表。
• ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$ 李代数存在里奇平坦的伪凯勒度量，且该结构可视为平坦伪凯勒度量的形变。
• 所有四维李代数上的里奇平坦伪凯勒度量，模同构，均来自 $\mathbb{R} \times {\mathfrak{e}}(2)$ 或 ${\mathfrak{aff}}(\mathbb{C})$。
• 对于交换复代数 $A$，仿射李代数 ${\mathfrak{aff}}(A)$ 存在中性里奇平坦凯勒度量，将四维情形推广至更高维。
• 若李代数上的沃克凯勒度量满足 $\mathfrak{g} = W \oplus J W$（其中 $W$ 为全零化子空间），则其为超辛度量；该条件在 $({\mathfrak{aff}}(\mathbb{C}), J_2)$ 情形不成立，故其非超辛度量。