[论文解读] Invariant theory for the elliptic normal quintic, II. The covering map

Tom Fisher|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文为五次度数的椭圆正则五次曲线（elliptic normal quintic）到其雅可比椭圆曲线的25度覆盖映射，建立了基于不变量理论的显式公式。通过利用5×5反对称矩阵中线性形式的Pfaffian构造的协变量，作者构建了显式的有理映射（X/Z², Y/Z³），实现了该覆盖映射，提供了一套可在数域上实际计算的算法，并支持算术几何中的显式n-下降计算。

ABSTRACT

A genus one curve C of degree 5 is defined by the 4 x 4 Pfaffians of a 5 x 5 alternating matrix of linear forms on P^4. We prove a result characterising the covariants for these models in terms of their restrictions to the family of curves parametrised by the modular curve X(5). We then construct covariants describing the covering map of degree 25 from C to its Jacobian and give a practical algorithm for evaluating them.

研究动机与目标

• 为五次度数的亏格一曲线到其雅可比曲线的覆盖映射提供显式的不变量理论公式。
• 将先前关于椭圆正则五次曲线不变量的研究扩展至覆盖映射，完整描述曲线几何的不变量理论结构。
• 实现在数域上对覆盖映射的实用计算，支持显式n-下降和Mordell-Weil群的计算。
• 通过其在模曲线X(5)上的限制，刻画协变量，确保与Heisenberg群作用的相容性。

提出的方法

• 将ℙ⁴上的五次度数亏格一曲线建模为5×5反对称矩阵中线性形式的Pfaffian。
• 利用GL(V)×GL(W)-轨道闭包的结构，在SL(V)×SL(W)作用下的不变量环中识别出度数分别为50、110、165的协变量Z、X、Y。
• 通过有理映射(x,y) = (X/Z², Y/Z³)构造覆盖映射π: C → E，其中E为具有Weierstrass方程y² = x³ - 27c₄x - 54c₆的雅可比曲线。
• 通过有理节点五次曲线的特殊化，确定关系式Y² = X³ - 27c₄XZ⁴ - 54c₆Z⁶中的归一化常数。
• 应用先前工作的算法高效计算协变量Z、X、Y，使其实现在计算代数系统中的实现。
• 通过Bézout定理计算上无穷远点纤维中的25个拐点，验证映射度为25，并确认其在Heisenberg群作用下的商结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用不变多项式表达椭圆正则五次曲线到其雅可比曲线的25度覆盖映射？
• RQ2 从亏格一模型到线性形式对称幂的协变量模的结构是什么？它与覆盖映射有何关联？
• RQ3 能否在数域上算法化计算定义覆盖映射的协变量？它们在退化模型上的特殊化行为如何？
• RQ4 此前用于计算雅可比曲线的不变量c₄和c₆，如何扩展以完整描述覆盖映射？
• RQ5 Heisenberg群作用在刻画覆盖映射中起什么作用？它如何在协变量中编码？

主要发现

• 非奇异椭圆正则五次曲线C到其雅可比曲线E的覆盖映射由(x,y) = (X/Z², Y/Z³)给出，其中X、Y、Z分别为度数110、165、50的协变量。
• 雅可比曲线E的Weierstrass方程为y² = x³ - 27c₄(φ)x - 54c₆(φ)，其中c₄和c₆为度数20和30的标准不变量。
• 覆盖映射的度数为25，通过上无穷远点纤维中25个拐点的交点理论计数得到确认。
• 协变量X、Y、Z构成线性形式对称代数中度数6的协变量模的自由基，确保映射是良定义且有理的。
• 计算X、Y、Z的算法具有实用性，并在Magma中实现，通过在ℚ上一个五次曲线（c₄ = 21288863488，c₆ = 3106257241074688）上的显式计算得到验证。
• 该映射在雅可比曲线上产生一个高度为164.907的点，该点生成秩为1的子群，确认其在Mordell-Weil计算中的实用性。