[论文解读] $δ$-Invariants, Inequalities of Submanifolds and Their Applications

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 139被引用 22

一句话总结

本文引入了 $\delta$-不变量——一种与经典数量曲率和里奇曲率不同的新型黎曼不变量，用于建立子流形内在几何与外在几何之间的最优不等式。研究表明，这些不变量解决了极小浸入中的长期障碍，并为估计特征值、分类理想浸入以及分析复流形、接触流形和爱因斯坦流形中的子流形提供了强有力的工具。

ABSTRACT

The famous Nash embedding theorem was aimed for in the hope that if Riemannian manifolds could be regarded as Riemannian submanifolds, this would then yield the opportunity to use extrinsic help. However, as late as 1985 (see \cite{G}) this hope had not been materialized. The main reason for this is due to the lack of controls of the extrinsic properties of the submanifolds by the known intrinsic invariants. In order to overcome such difficulties as well as to provide answers to an open question on minimal immersions, we introduced in the early 1990's new types of Riemannian invariants, known as the $δ$-invariants or the so-called Chen invariants, different in nature from the "classical" Ricci and scalar curvatures. At the same time we also able to establish general optimal relations between the new intrinsic invariants and the main extrinsic invariants for Riemannian submanifolds. Since then many results concerning these invariants, inequalities, related subjects, and their applications have been obtained by many geometers. The main purpose of this article is thus to provide an extensive and comprehensive survey of results over this very active field of research done during the last fifteen years. Several related inequalities and their applications are presented in this survey article as well.

研究动机与目标

• 解决子流形理论中经典内在不变量（如里奇曲率）对对外在不变量（如平均曲率）缺乏控制的问题。
• 通过引入更能反映几何约束的新内在不变量，克服纳什嵌入定理在实际几何分析中的局限性。
• 通过引入 $\delta$-不变量，解决陈省身关于极小等距浸入到欧几里得空间的必要条件的开放问题。
• 统一并推广现有的曲率不等式，在多种几何设定下提供内在与外在不变量之间的最优关系。
• 将曲率不变量的应用扩展到复几何、接触几何、拉格朗日几何和仿射微分几何，并推广至广义相对论。

提出的方法

• 将 $\delta$-不变量定义为基于数量曲率、通过减去特定截面曲率项而得到的不变量，从而产生对子流形几何更敏感的新内在曲率不变量。
• 建立 $\delta$-不变量与外在不变量（如平均曲率 $H$、数量曲率 $\tau$ 和里奇曲率）之间的一般最优不等式。
• 利用“理想浸入”的概念——即在 $\delta$-不等式中取等号的子流形——来表征最优几何构型。
• 应用 $\delta$-不变量框架，通过曲率界推导紧致子流形上拉普拉斯算子的特征值估计。
• 将结果扩展到特殊设定：CR-子流形、拉格朗日和斜子流形、扭曲积以及黎曼纤维化。
• 利用 DDVV 猜想及相关不等式，分析法曲率数量曲率与子流形刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义新的内在不变量，使其对外在几何的控制能力优于经典曲率不变量？
• RQ2 在子流形几何中，$\delta$-不变量与平均曲率及其他外在不变量之间的最优不等式是什么？
• RQ3 $\delta$-不变量如何用于表征复空间形式中极小或全实浸入的性质？
• RQ4 $\delta$-不变量不等式对紧致子流形上拉普拉斯算子谱有何影响？
• RQ5 $\delta$-不变量在爱因斯坦、共形平坦及接触流形中子流形的刚性结果与分类定理方面有何增强作用？

主要发现

• $\delta$-不变量提供了一类全新的内在曲率不变量，其本质不同于数量曲率与里奇曲率，因为它们是通过从总数量曲率中减去特定截面曲率项而导出的。
• 建立了 $\delta$-不变量与外在不变量（如平均曲率 $H$）之间的最优不等式，等号成立时对应于“理想浸入”，即最小化环境空间归一化数量曲率的子流形。
• 对于复空间形式 $\tilde{M}^n(4\epsilon)$ 中的纯实子流形，不等式 $H^2 \geq \frac{2(n+2)}{n^2(n-1)}\tau - \frac{n+2}{n}\left[1 + \frac{3\|P\|^2}{n(n-1)}\right]\epsilon$ 成立，且在特定几何条件下取等号。
• $\delta(2)$-不变量在分类拉格朗日子流形和 $CR$-子流形方面尤为有效，特别是在几乎凯勒流形 $S^6$ 中。
• 在扭曲积中的应用可得到扭曲函数的增长估计，且 $\delta$-不变量框架在子流形理论中导出了新的刚性结果。
• 该理论为通过 $\delta$-不变量导出的曲率界系统性地估计紧致子流形上拉普拉斯算子的特征值提供了方法。