[论文解读] Invariants of moduli spaces of stable sheaves on ruled surfaces

Sergey Mozgovoy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 22

一句话总结

本文利用 motivic 测度和 wall-crossing 技术，计算了在规则曲面上任意秩的稳定层模空间的 Betti 数。该工作推广了 Göttsche 对秩一的情形和 Yoshioka 对秩二的情形的公式，并通过推导涉及基曲线的 motivic zeta 函数与向量丛堆栈的生成函数，证实了 Manschot 对 Hirzebruch 曲面的猜想。

ABSTRACT

We compute Betti numbers of the moduli spaces of arbitrary rank stable sheaves on ruled surfaces. Our result generalizes the formula of Goettsche for rank one sheaves and the formula of Yoshioka for rank two sheaves. It also confirms the conjecture of Manschot for arbitrary rank sheaves on the Hirzebruch surfaces.

研究动机与目标

• 计算规则曲面上任意秩的稳定层模空间的 Betti 数。
• 推广 Göttsche 对秩一层的公式和 Yoshioka 对秩二层的公式。
• 证实 Manschot 关于 Hirzebruch 曲面上 f-半稳定层的不变量的猜想。
• 通过 motivic 测度和基曲线的 motivic zeta 函数，建立不变量的生成函数。
• 通过 wall-crossing 和 blow-up 公式，实现对任意极化下不变量的计算。

提出的方法

• 在斜率 f-半稳定层的模堆栈上使用 motivic 测度 μ，该测度可为 Poincaré 多项式或点计数测度。
• 应用 wall-crossing 公式，关联规则曲面上不同极化下的不变量。
• 利用 blow-up 公式，关联 P² 和 Hirzebruch 曲面 Σ₁ 上的不变量。
• 推导出涉及基曲线 C 的 motivic zeta 函数 Z_C(t) 和零度向量丛堆栈 Bun_{C,r} 的生成函数。
• 利用判别式和陈类的结构，将不变量表示为具有二次型的整权和的形式。
• 依赖于 f-半稳定等价于通用纤维的半稳定，而这些纤维是等度线丛的直和。

实验结果

研究问题

• RQ1 规则曲面上任意秩的稳定层模空间的 Betti 数的生成函数是什么？
• RQ2 不同极化下，稳定层模空间的不变量如何通过 wall-crossing 变换？
• RQ3 Manschot 关于 Hirzebruch 曲面上 f-半稳定层的不变量的猜想，能否推广到任意秩？
• RQ4 基曲线的 motivic zeta 函数在计算这些不变量中起什么作用？
• RQ5 如何利用 blow-up 公式通过 Hirzebruch 曲面关联 P² 和 Σ₁ 上的不变量？

主要发现

• f-半稳定层模空间的生成函数为 Z̃_f(r,c₁) = μ(Bun_{C,r}) × ∏_{k≥1} ∏_{i=-r}^{r-1} Z_C(q^{rk+i} t^k)，证实了 Manschot 的猜想。
• 对局部自由层，生成函数为 Z̃_f°(r,c₁) = μ(Bun_{C,r}) × ∏_{k≥1} ∏_{i=1}^{r-1} Z_C(q^{rk+i} t^k) / Z_C(q^{rk-i} t^k)。
• 堆栈 Bun_{C,r} 的 motivic 测度为 μ(Bun_{C,r}) = μ(Jac C)/(q−1) × ∏_{i=1}^{r−1} Z_C(q^i)。
• 当 r 不整除 f·c₁ 时，对所有 c₂ ∈ ℤ，模空间 M_f(r,c₁,c₂) 为空。
• 该公式推广了 Göttsche 对秩一的情形和 Yoshioka 对秩二的情形的结果。
• 该结果可通过 wall-crossing 和 blow-up 公式实现对任意极化下不变量的计算，如在 P² 和 Σ₁ 上所展示的。