[论文解读] Invariants of stable quasimaps with fields

Huai-Liang Chang, Mu-Lin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文使用 Kiem-Li 的余截面局部化方法，为光滑超曲面 $\mathbb{P}^n$ 中的 $\epsilon$-稳定准映射与 P-丛的模空间构造了虚拟基本类。结果表明，该模空间上得到的虚拟圈与超曲面 $X$ 上准映射模空间的虚拟圈（符号除外）一致，将 Chang-Li 的数值恒等式推广至任意超曲面和所有亏格的圈层水平。

ABSTRACT

For an arbitrary smooth hypersurface X in a projective space, we construct its LG moduli of quasimaps with P fields. Apply Kiem-Li's cosection localization we obtain a virtual fundamental class. We show the class coincides, up to sign, with that of moduli of quasimaps to X. This generalizes Chang-Li's numerical identity to the cycle level, and from Gromov Witten invariants to quasimap invariants.

研究动机与目标

• 将 Chang-Li 关于 Gromov-Witten 不变量与 Landau-Ginzburg 不变量之间的数值恒等式，从不变量层面上升至虚拟圈层面。
• 为光滑超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ 上的 $\epsilon$-稳定准映射与 P-丛的模空间构造虚拟基本类。
• 在圈层水平建立 $X$ 上准映射不变量与 $\mathbb{P}^n$ 上带场的准映射不变量之间的对应关系。
• 将结果推广至任意次数 $m$ 的光滑超曲面，而不仅限于五次曲面，并包含标记与所有亏格。
• 通过场论模空间几何实现准映射与 Gromov-Witten 不变量之间墙穿跃的几何实现。

提出的方法

• 构造 $\mathbb{P}^n$ 上 $\epsilon$-稳定准映射与截面 $p \in \Gamma(L^{-m} \otimes \omega_C)$ 的模栈 $\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p$。
• 利用定义超曲面 $X$ 的齐次多项式 $q$，在该模空间上定义障碍层的余截面 $\sigma$。
• 应用 Kiem-Li 的余截面局部化方法，得到一个支持在退化点集 $\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(X,d)$ 上的虚拟圈 $[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p]^{\mathrm{vir}}$。
• 使用直接像锥构造方法，关联准映射模空间与场修正模空间的障碍理论。
• 通过局部化 Gysin 拉回与局部化陈类技巧，建立虚拟圈同构。
• 利用上同调与形变理论论证，证明关键恒等式 $[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(\mathbb{P}^n,d)^p]^{\mathrm{vir}} = (-1)^{md+1-g}[\overline{M}^\epsilon_{g,\ell}(X,d)]^{\mathrm{vir}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 带 P-丛的准映射至 $\mathbb{P}^n$ 的虚拟圈是否与至光滑超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ 的准映射的虚拟圈一致？
• RQ2 Chang-Li 的不变量之间数值恒等式能否从不变量层面提升至虚拟圈层面？
• RQ3 余截面局部化方法是否能为任意光滑超曲面上的带场准映射提供一致的虚拟基本类？
• RQ4 场修正模空间与受限准映射模空间的虚拟圈之间的精确符号因子是什么？
• RQ5 该构造能否扩展至 $\mathbb{P}^n$ 中的完全交，而不仅限于超曲面？

主要发现

• 带 P-丛的 $\epsilon$-稳定准映射至 $\mathbb{P}^n$ 的模空间的虚拟圈等于 $(-1)^{md+1-g}$ 倍的至超曲面 $X \subset \mathbb{P}^n$ 的 $\epsilon$-稳定准映射模空间的虚拟圈。
• 该结果将 Chang-Li 的数值恒等式从不变量层面推广至虚拟圈层面，适用于所有次数为 $m$ 的光滑超曲面。
• 对于五次三fold（$m=5$, $n=4$, $g=1$），虚拟圈 $[\overline{M}^\epsilon_{1,0}(X,d)]^{\mathrm{vir}}$ 的度数与 P-丛模空间的虚拟圈度数一致，从而为 $g=1$ 的 Gromov-Witten 不变量提供了另一种 Landau-Ginzburg 构造。
• 该构造可推广至 $\mathbb{P}^n$ 中的完全交，其中场修正模空间的虚拟圈为 $(-1)^{(\sum m_i)d + 1 - g}$ 倍的至完全交的准映射模空间的虚拟圈。
• 符号因子 $(-1)^{md+1-g}$ 源于线丛 $L^{igotimes m}$ 的欧拉示性数，其计算结果为 $\chi(C, L^{igotimes m}) = md + 1 - g$。
• 证明依赖于局部化 Gysin 拉回与局部化陈类公式，关键步骤是将余截面的退化点集识别为至 $X$ 的准映射模空间。