[论文解读] Invariants of the orthosymplectic Lie superalgebra and super Pfaffians

G Lehrer, R. B. Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文建立了正交辛李超代数 𝔬𝔰𝓹(V) 的第一个基本定理，证明其在坐标超环 𝒮(N) 中的不变量由基本 OSp(V)-不变量和一类新不变量——超 Pfaffian 所生成。本文显式构造了超 Pfaffian 模的最高权向量，并表明 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 作为 𝔤𝔩_N-模可分解为无重数的简单 𝔤𝔩_N-模的直和，其应用涵盖 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量在张量幂中的结构。

ABSTRACT

Given a complex orthosymplectic superspace $V$, the orthosymplectic Lie superalgebra $\mathfrak {osp}(V)$ and general linear algebra ${\mathfrak {gl}}_N$ both act naturally on the coordinate super-ring $\mathcal{S}(N)$ of the dual space of $V\otimes{\mathbb C}^N$, and their actions commute. Hence the subalgebra $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ of $\mathfrak {osp}(V)$-invariants in $\mathcal{S}(N)$ has a ${\mathfrak {gl}}_N$-module structure. We introduce the space of super Pfaffians as a simple ${\mathfrak {gl}}_N$-submodule of $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$, give an explicit formula for its highest weight vector, and show that the super Pfaffians and the elementary (or `Brauer') ${ m OSp}$-invariants together generate $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ as an algebra. The decomposition of $\mathcal{S}(N)^{\mathfrak {osp}(V)}$ as a direct sum of simple ${\mathfrak {gl}}_N$-submodules is obtained and shown to be multiplicity free. Using Howe's $({\mathfrak {gl}}(V), {\mathfrak {gl}}_N)$-duality on $\mathcal{S}(N)$, we deduce from the decomposition that the subspace of $\mathfrak{osp}(V)$-invariants in any simple ${\mathfrak {gl}}(V)$-tensor module is either $0$ or $1$-dimensional. These results also enable us to determine the $\mathfrak {osp}(V)$-invariants in the tensor powers $V^{\otimes r}$ for all $r$.

研究动机与目标

• 发展正交辛李超代数 𝔬𝔰𝓹(V) 的不变量理论，其复杂性高于超群 OSp(V) 的不变量理论。
• 识别并构造缺失的一类不变量——超 Pfaffian，这些不变量不是 OSp(V) 的不变量，但对生成所有 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量至关重要。
• 确定坐标超环 𝒮(N) = 𝒮(V⊗ℂ^N) 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量空间的结构，作为 𝔤𝔪_N-模。
• 将结果应用于计算任意简单张量模 V^λ 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量的维数，表明其至多为 1 维。
• 确定张量幂 V^⊗N 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量的完整分解，区分 OSp(V)-不变量与伪不变量。

提出的方法

• 利用 Howe 的 (𝔤𝔩(V), 𝔤𝔩_N)-对偶性于坐标超环 𝒮(N) = 𝒮(V⊗ℂ^N)，使得 𝔬𝔰𝓹(V) 和 𝔤𝔩_N 能够同时作用。
• 引入超 Pfaffian 空间 Γ(N) 作为 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 中的一个简单 𝔤𝔩_N-子模，其最高权向量的显式公式见定理 3.5。
• 应用伪不变量理论，并将 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 分解为 OSp(V)-不变量与 OSp(V)-伪不变量，以分类不变量的结构。
• 使用典范不变量 𝔠̌ ∈ V⊗V（即超形式）和余量映射 𝔠̌_{ij} 定义调和子空间，并通过张量收缩分析不变量。
• 利用不可约 𝔤𝔩_N-模的分拆理论描述和条件 μ_{m+1} ≤ 2n，对 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 作为简单 𝔤𝔩_N-模的直和分解进行分类。
• 应用 OSp(V) 的 FFT 证明当 N=2k 时，V^⊗N 中的 OSp(V)-不变量由 𝔠̌^⊗k 张成，并通过超 Pfaffian 将此结果推广至 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 坐标超环 𝒮(N) 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量的代数 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 的结构是什么？
• RQ2 超 Pfaffian 在生成所有 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量中的作用是什么？它与 OSp(V)-不变量有何不同？
• RQ3 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 作为 𝔤𝔩_N-模的分解能否显式描述？是否为无重数分解？
• RQ4 任意简单张量模 V^λ 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量空间的维数是多少？在何种条件下非零？
• RQ5 张量幂 V^⊗N 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量的结构如何？它们如何分解为 OSp(V)-不变量与伪不变量？

主要发现

• 空间 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 可分解为无重数的简单 𝔤𝔩_N-模的直和，每个简单子模均有唯一确定的最高权向量。
• 超 Pfaffian 构成 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 的一个简单 𝔤𝔩_N-子模 Γ(N)，其最高权向量由公式 (3.5) 显式给出，这对证明 FFT 至关重要。
• 代数 𝒮(N)^𝔒𝔰𝓹(V) 作为代数由基本 OSp(V)-不变量与超 Pfaffian 生成，从而确立了 𝔬𝔰𝓹(V) 的第一个基本定理。
• 任意简单张量模 V^λ 中 𝔬𝔰𝓹(V)-不变量空间的维数至多为 1，且当且仅当最高权 λ 满足特定分拆条件（即 μ_{m+1} ≤ 2n 或 λ = ω_m + 2∑ℓ_iω_i 且 μ_{m+1} ≤ 2n ≤ μ_m）时维数恰好为 1。
• 当 N ≥ m(2n+1) 时，伪不变量空间 (V^⊗N)^𝔒𝔰𝓹(V),det 非零，且由 V^⊗r_c 中的超 Pfaffian 空间 Γ^0 与 V^⊗(N−r_c) 中的 OSp(V)-不变量生成，其中 r_c = m(2n+1)。
• 超 Pfaffian 空间 Γ^0 包含于 V^⊗r_c 的调和子空间中，即被所有余量映射 𝔠̌_{ij} 所消去。