[论文解读] Invariants topologiques des Espaces non commutatifs

Anthony Blanc|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种针对以复数上的微分graded范畴（dg-categories）定义的非交换空间的拓扑K-理论，方法是利用有限型复数概形上的谱预层的拓扑实现。一个关键结果表明，单位dg-范畴的连通与非连通代数K-理论的拓扑实现，恢复了标准的拓扑K-理论谱，且到周期同调的Chern示性类通过该拓扑K-理论，为非交换Hodge理论的有理部分提供了一个候选理论。

ABSTRACT

In this thesis, we give a definition of topological K-theory of Kontsevich's noncommutative spaces (ie dg-categories) defined over the complex. The main motivation comes from noncommutative Hodge structures in the sense of Kontsevich--Katzarkov--Pantev on the periodic cyclic homology of smooth and proper dg-algebras. The essential ingredient in the definition is the topological realization functor from presheaves of spectra on the site of complex affine schemes to spectra. Topological K-theory is defined as the Bott inverted topological realization of nonconnective algebraic K-theory. Using a non-abelian generalization of Deligne's proper cohomological descent, we show that the topological realization of the preaheave given by nonconnective K-theory is the spectrum bu of connective topological K-theory. The other main result deals with the relation between topological K-theory of a dg-category T and the moduli stack of perfect modules over T^op. Moreover, topological K-theory can be endowed with a Chern character map to periodic cyclic homology which factorizes Cisinski--Tabuada Chern map. We give a comparison result for smooth schemes of finite type over the complex and for finite dimensional associative algebras.

研究动机与目标

• 为以复数上dg-范畴表示的非交换空间定义拓扑K-理论。
• 启动对简化代数K-理论和周期同调等代数不变量的拓扑不变量的探索。
• 通过Chern示性类为周期同调上的非交换Hodge结构的有理部分提供一个候选理论。
• 建立拓扑实现、dg-范畴与非交换Hodge理论之间的框架联系。
• 在关键情形下证明晶格猜想：光滑有限型概形与有限维结合代数。

提出的方法

• 利用有限型复数概形上的谱预层的拓扑实现函子。
• 将连通半拓扑K-理论定义为完美dg-模堆层（带交换幺半群结构）的拓扑实现。
• 通过拓扑实现的非连通代数K-理论，将定义扩展至负K-群。
• 将Deligne的恰当上同调下降的一般化推广至非交换、同伦范畴设置，以实现对光滑概形的限制。
• 通过将所得谱局部化（即关于Bott元取逆）来定义拓扑K-理论。
• 利用对光滑概形的限制性质，证明连通与非连通实现之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为以复数上dg-范畴表示的非交换空间定义拓扑K-理论？
• RQ2 单位dg-范畴的连通与非连通代数K-理论的拓扑实现是否产生标准的拓扑K-理论谱？
• RQ3 从代数K-理论到周期同调的Chern示性类是否通过这一新的拓扑K-理论？
• RQ4 晶格猜想——即拓扑K-理论捕捉了非交换Hodge结构的有理部分——在光滑有限型复数概形上是否成立？
• RQ5 晶格猜想在有限维结合代数情形下是否成立？

主要发现

• 单位dg-范畴的连通代数K-理论预层的拓扑实现，等价于通常的拓扑K-理论谱。
• 通过光滑概形限制性质，该等价性同样适用于非连通代数K-理论预层。
• 从代数K-理论到周期同调的Chern示性类通过拓扑K-理论，支持其作为有理Hodge候选理论的角色。
• 晶格猜想在复数上光滑有限型概形上的完美复形的dg-范畴中被证明为真。
• 晶格猜想在有限维结合代数的情形下也得到验证。
• 在同伦、非交换设置中，建立了Deligne的恰当上同调下降的一般化，从而实现关键的技术结果。