[论文解读] Invasion by rare mutants in a spatial two-type Fisher-Wright system with selection

Donald A. Dawson, Andreas Greven|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文研究了在具有选择与罕见突变的相互作用Fisher-Wright扩散模型中，稀有有益突变体在空间结构化种群中的入侵动力学。通过取种群规模 $N \to \infty$ 的平均场极限，识别出一个临界时间尺度 $\alpha^{-1}\log N + t$，在此尺度上，类型-2（更适应）突变体实现全局出现；并表明从出现到固定的过程由一个随机McKean-Vlasov进入律所支配，其团簇形成由一个以 $\mathcal{W}^* e^{\alpha t}$ 速度增长的随机测度值过程描述，且建立了出现与固定随机变量之间的对称性。

ABSTRACT

We consider a meanfield system of interacting Fisher-Wright diffusions with selection and rare mutation on the geographic space $\{1,2,...,N\}$. The type 1 has fitness 0, type 2 has fitness 1 and (rare) mutation occurs from type 1 to 2 at rate $m...N^{-1}$, selection is at rate $s>0$. The system starts in the state concentrated on type 1, the state of low fitness. We investigate this system for $N o \infty$ on the original and large time scales. We show that for some $α\in (0,s)$ at times $α^{-1} \log N+t, t \in \R, N o \infty$ the emergence of type 2 (positive global type-2 intensity) at a global level occurs, while at times $α^{-1} \log N+t_N$, with $t_N o \infty$ we get fixation on type 2 and on the other hand with $t_N o -\infty$ as $N o \infty$ asymptotically only type 1 is present. We describe the transition from emergence to fixation in the time scale $α^{-1} \log N+t, t \in \R$ in the limit $N o \infty$ by a McKean-Vlasov random entrance law. This entrance law behaves for $t o -\infty$ like $^\ast\CW e^{-α|t|}$ for a positive random variable $^\ast \CW$. The formation of small droplets of type-2 dominated sites in times $o(\log N)$, or $γ...\log N, γ\in (0,α^{-1})$ is described in the limit $N o \infty$ by a measure-valued process following a stochastic equation driven by Poissonian type noise which we identify explicitly. The total mass of this limiting $(N o \infty)$ droplet process grows like $\CW^\ast e^{αt}$ as $t o \infty$. We prove that exit behaviour from the small time scale equals the entrance behaviour in the large time scale, namely $\CL[^\ast\CW] =\CL[\CW^\ast]$.

研究动机与目标

• 理解在空间结构化系统中，稀有有益突变体入侵一个最初由适应度较低类型主导的种群时的随机动力学。
• 分析在 $N \to \infty$ 极限下，更适应类型实现全局出现的时间尺度与机制。
• 刻画早期入侵阶段中类型-2主导的局部化“团簇”形成过程。
• 建立控制出现的随机变量与控制固定的随机变量之间的联系，证明 $\mathcal{L}[{}^*\mathcal{W}] = \mathcal{L}[\mathcal{W}^*]$。

提出的方法

• 在有限地理空间 $\{1,\dots,N\}$ 上构建一个相互作用的Fisher-Wright扩散的平均场系统，其中选择有利于类型2，并以速率 $m N^{-1}$ 发生从类型1到类型2的罕见突变。
• 在时间尺度 $\alpha^{-1}\log N + t$（$t \in \mathbb{R}$）上分析该系统在 $N \to \infty$ 的极限，以捕捉从稀有出现到全局固定的过渡。
• 利用与Crump-Mode-Jagers分支过程的对偶性，分析对偶粒子系统，推导对偶种群规模与占据时间的渐近行为。
• 推导出全局类型-2频率的极限随机McKean-Vlasov方程，表明其具有一个随机进入律，当 $t \to -\infty$ 时行为如 $^*\mathcal{W} e^{-\alpha|t|}$。
• 通过由泊松噪声驱动的测度值过程刻画早期阶段的团簇形成，其总质量以 $\mathcal{W}^* e^{\alpha t}$ 的速度增长。
• 通过使用对偶性与矩分析，证明 $\mathcal{L}[{}^*\mathcal{W}] = \mathcal{L}[\mathcal{W}^*]$，从而建立出现与固定随机变量之间的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有选择与突变的空间结构化种群中，稀有有益突变体在何时首次实现全局主导？
• RQ2 在 $N \to \infty$ 极限下，局部突变体簇（团簇）向全局固定的过渡如何被数学描述？
• RQ3 控制更适应类型在出现时初始增长的随机变量的分布是什么？它与固定阶段有何关联？
• RQ4 前向过程与对偶分支过程之间的对偶性如何帮助刻画系统的渐近行为？
• RQ5 在出现时的随机变量 $^*\mathcal{W}$ 与在固定时的 $\mathcal{W}^*$ 之间存在何种关系？这种对称性意味着什么？

主要发现

• 更适应类型2的出现发生在时间 $\alpha^{-1}\log N + t$（$t \in \mathbb{R}$），其中 $\alpha \in (0,s)$，标志着一个关键的过渡阶段。
• 类型2的全局频率收敛到一个随机McKean-Vlasov方程的解，其具有一个随机进入律，当 $t \to -\infty$ 时衰减为 $^*\mathcal{W} e^{-\alpha|t|}$。
• 早期阶段的团簇形成由一个由泊松噪声驱动的测度值过程描述，其总质量以 $\mathcal{W}^* e^{\alpha t}$ 的速度增长（$t \to \infty$）。
• 在出现时的随机变量 $^*\mathcal{W}$ 与在固定时的 $\mathcal{W}^*$ 具有相同的分布，即 $\mathcal{L}[{}^*\mathcal{W}] = \mathcal{L}[\mathcal{W}^*]$，表明入侵过程中存在深层次的对称性。
• 该系统表现出间断平衡动力学：长时间的停滞期（类型1主导）之后是类型2的快速出现与固定。
• 对于更快的突变率（$\beta_3 < 1$），出现过程变为确定性，方差趋近于零；而对于更慢的突变率（$\beta_3 > 1$），则需要更高阶的共轭过程才能实现出现。