[论文解读] Inventory Control for Spectrally Positive Levy Demand Processes

Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 40被引用 10

一句话总结

本文利用 Lévy 过程波动理论中的 scale 函数，为谱正向 Lévy 需求过程开发了一套库存控制框架。它证明了 (s,S)-策略的最优性，并通过 scale 函数简洁地表达了价值函数和最优参数，从而为具有无限活动跳跃的进程（如 CGMY 和变方差伽马过程）提供了可处理的解法。

ABSTRACT

A new approach to solve the continuous-time stochastic inventory problem using the fluctuation theory of Levy processes is developed. This approach involves the recent developments of the scale function that is capable of expressing many fluctuation identities of spectrally one-sided Levy processes. For the case with a fixed cost and a general spectrally positive Levy demand process, we show the optimality of an (s,S)-policy. The optimal policy and the value function are concisely expressed via the scale function. Numerical examples under a Levy process in the beta-family with jumps of infinite activity are provided to confirm the analytical results. Furthermore, the case with no fixed ordering costs is studied.

研究动机与目标

• 通过将 scale 函数引入库存模型，弥合现代 Lévy 过程波动理论与随机库存控制之间的差距。
• 在一般谱正向 Lévy 需求过程中，求解具有固定和比例订货成本的连续时间库存问题。
• 证明即使对于具有无限活动跳跃的 Lévy 过程，(s,S)-策略依然最优，而这类过程在经典积分-微分方程方法下难以处理。
• 利用 scale 函数提供价值函数和最优策略的简洁解析表达式，从而可对复杂过程进行数值计算。
• 将库存控制模型的适用范围从几何 Brownian 过程和复合泊松过程扩展至具有无限变差和无限活动的进程（如变方差伽马过程和 CGMY 过程）。

提出的方法

• 利用谱单边 Lévy 过程的 scale 函数，表达波动恒等式，如 hitting 时间、超额量和再生测度。
• 将 scale 函数应用于推导 (s,S)-策略下的期望总折扣成本，从而可直接验证最优性。
• 采用“猜测-验证”方法，利用从 scale 函数性质导出的已知光滑粘贴和连续性条件。
• 使用 Lévy 过程的 Laplace 指数定义 scale 函数，即使对于具有无限活动跳跃的进程，该函数也具有解析可处理性。
• 在验证过程中应用控制收敛定理和单调收敛定理，以保证期望成本的有限性和收敛性。
• 通过一个具有无限活动跳跃的 β 家族 Lévy 过程，对解析结果进行数值验证，证明了其实际可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 scale 函数框架能否用于求解具有通用谱正向 Lévy 需求过程的连续时间库存控制问题？
• RQ2 对于具有无限活动跳跃的谱正向 Lévy 需求过程，(s,S)-策略是否依然最优？
• RQ3 即使底层 Lévy 过程具有无限变差，是否也能通过 scale 函数简洁地表达价值函数和最优策略参数？
• RQ4 与经典积分-微分方程方法相比，基于 scale 函数的方法在处理具有无限活动跳跃的进程时，其可处理性如何？
• RQ5 在截断状态空间并取极限时，(s,S)-策略下的期望总成本行为如何？

主要发现

• (s,S)-策略对于具有固定和比例订货成本的连续时间库存控制问题，在任意谱正向 Lévy 需求过程中均是最优的。
• 价值函数和最优策略参数通过 scale 函数显式表达，从而可直接计算，无需求解积分-微分方程。
• scale 函数方法对无限活动和无限变差具有鲁棒性，使得对变方差伽马过程和 CGMY 过程等复杂过程的可处理分析成为可能。
• 数值示例通过一个具有无限活动的 β 家族 Lévy 过程验证了分析结果，展示了收敛性和稳定性。
• 由于 scale 函数框架确保了指数矩条件，(s,S)-策略下的期望总成本即使在重尾和无限活动跳跃过程中也是良好定义且有限的。
• 该方法可通过“猜测-验证”程序简便地推导出最优策略，充分利用了 scale 函数的已知性质。