[论文解读] Inverse and stability theorems for approximate representations of finite groups

W. T. Gowers, O. Hatami|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Functional Equations Stability Results参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文建立了有限群上近似表示的逆定理与稳定性定理，将经典的傅里叶分析逆定理推广至非阿贝尔群上的矩阵值函数。结果表明，若函数 f: G → Mn(C) 有有界性且其 U2 范数较大，则其必与某个维数在 n 的常数倍范围内的酉表示相关联；此外，以施瓦茨 p-范数衡量的近似表示在整体上接近于真实的表示，且逼近表示的维数也接近于 n。

ABSTRACT

The $U^2$ norm gives a useful measure of quasirandomness for real- or complex-valued functions defined on finite (or, more generally, locally compact) groups. A simple Fourier-analytic argument yields an inverse theorem, which shows that a bounded function with a large $U^2$ norm defined on a finite Abelian group must correlate significantly with a character. In this paper we generalize this statement to functions that are defined on arbitrary finite groups and that take values in M$_n(\mathbb C)$. The conclusion now is that the function correlates with a representation -- though with the twist that the dimension of the representation is shown to be within a constant of $n$ rather than being exactly equal to $n$. There are easy examples that show that this weakening of the obvious conclusion is necessary. The proof is much less straightforward than it is in the case of scalar functions on Abelian groups. As an easy corollary, we prove a stability theorem for near representations. It states that if $G$ is a finite group and $f:G o$M$_n(\mathbb C)$ is a function that is close to a representation in the sense that $f(xy)-f(x)f(y)$ has a small Hilbert-Schmidt norm (also known as the Frobenius norm) for every $x,y\in G$, then there must be a representation $ρ$ such that $f(x)-ρ(x)$ has small Hilbert-Schmidt norm for every $x$. Again, the dimension of $ρ$ need not be exactly $n$, but it must be close to $n$. We also obtain stability theorems for other Schatten $p$-norms. A stability theorem of this kind was obtained for the operator norm by Grove, Karcher and Ruh in 1974 and in a more general form by Kazhdan in 1982. (For the operator norm, the dimension of the approximating representation is exactly $n$.)

研究动机与目标

• 将阿贝尔群上标量值函数的逆定理推广至任意有限群上的矩阵值函数。
• 在施瓦茨 p-范数下建立近似酉表示的稳定性结果，表明近似同态在整体上接近于真实的表示。
• 解决有限群在矩阵值逼近下的乌拉姆稳定性问题，尤其在希尔伯特-施密特范数与算子范数下。
• 确定逼近表示维数相对于原函数范数与群结构的正确依赖关系。
• 利用表示理论工具，将经典有限群上的傅里叶分析推广至矩阵值函数。

提出的方法

• 通过公式 ∥f∥⁴_U2 = Ex,y,z,w tr(f(x)f(y)*f(z)f(w)*) 将 U2 范数推广至矩阵值函数。
• 利用非阿贝尔傅里叶变换 ˆf(ρ) = ∫_G f(x) ⊗ ρ(x) dµ(x) 定义，其中 ρ 遍历不可约表示。
• 应用谱极大化与利德斯克依定理，将 f(x) 的奇异值与如 f(x)f(y)* 等乘积的奇异值关联起来。
• 使用施瓦茨 p-范数度量逼近误差，并通过归一化使界与维数无关。
• 证明：若 f 在施瓦茨 p-范数下与同态 ε-接近，则存在一个真实表示 ρ，使得 f(x) − ρ(x) 的范数较小。
• 利用酉扩张与奇异值替换技术，从 f 构造逼近表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将阿贝尔群上 U2 范数的经典逆定理推广至非阿贝尔有限群上的矩阵值函数？
• RQ2 与具有大 U2 范数的矩阵值函数相关联的表示的正确维数是什么？
• RQ3 每个有限群的近似酉表示是否在施瓦茨 p-范数下整体上接近于真实的酉表示？
• RQ4 逼近表示的维数与原函数矩阵大小 n 之间有何关系？
• RQ5 是否能在所有施瓦茨 p-范数下获得统一的稳定性结果，包括 p = 2（希尔伯特-施密特范数）与 p = ∞（算子范数）？

主要发现

• 若 f: G → Mn(C) 满足 ∥f∥∞ ≤ 1 且 ∥f∥⁴_U2 ≥ cn，则 f 与某个维数在 [c₁n, c₂n] 范围内的酉表示相关联，其中常数 c₁, c₂ 仅依赖于 c。
• 对任意 ε > 0，若 f: G → U(H) 满足 ∥f(xy) − f(x)f(y)∥_HS ≤ ε√n 对所有 x,y 成立，则存在一个真实表示 ρ，使得对所有 x 有 ∥f(x) − ρ(x)∥_HS ≤ 13ε√n。
• 逼近表示 ρ 的维数在 n 的常数倍范围内，且 ∥f(x) − ρ(x)∥_HS 的界关于 ε 线性依赖。
• 对于 p ∈ [1,2]，稳定性界关于 ε 线性；对于 2 < p < ∞，界退化为 Cε²/ᵖ，当 p → ∞ 时变得微弱。
• 该结果可推广至紧致群，使用哈尔测度与酉对偶 ˆG，且 U2 范数与逼近误差的界保持不变。
• 当 p > 2 时，证明失效，因对扰动迹的实部控制不足，导致界仅能保证为 ε²/ᵖ 而非 ε。