[论文解读] Inverse formula for the Blaschke-Levy representation with applications to zonoids and sections of star bodies

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|May 9, 1996

Point processes and geometric inequalities参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文建立了从球面上给定的偶函数 $ H $ 通过其导数重构 Blaschke-Levy 表示中密度函数 $ b $ 的逆公式。关键贡献在于给出了 $ b $ 的可计算公式，从而推动了关于 $ L_p $ 等距嵌入、拟椭球体结构以及 $ 0 < p < 2 $ 时 $ \ell_p^n $-球体中心截面体积的精确公式的新结果。

ABSTRACT

We say that an even continuous function $H$ on the unit sphere $Ω$ in $R^n$ admits the Blaschke-Levy representation with $q&gt;0$ if there exists an even function $b\in L_1(Ω)$ so that $H^q(x)=\int_Ω|(x,ξ)|^q b(ξ)\ dξ$ for every $x\in Ω.$ This representation has numerous applications in convex geometry, probability and Banach space theory. In this paper, we present a simple formula (in terms of the derivatives of $H$) for calculating $b$ out of $H.$ We use this formula to give a sufficient condition for isometric embedding of a space into $L_p$ which contributes to the 1937 P.Levy's problem and to the study of zonoids. Another application gives a Fourier transform formula for the volume of $(n-1)$-dimensional central sections of star bodies in $R^n.$ We apply this formula to find the minimal and maximal volume of central sections of the unit balls of the spaces $\ell_p^n$ with $0

研究动机与目标

• 推导出从函数 $ H $ 显式重构 Blaschke-Levy 表示中密度函数 $ b $ 的逆公式。
• 将逆公式应用于解决 $ L_p $-等距嵌入与拟椭球体理论中的问题。
• 建立 $ \mathbb{R}^n $ 中星体的 $ (n-1) $-维中心截面体积的傅里叶变换公式。
• 确定 $ \ell_p^n $-空间单位球在 $ 0 < p < 2 $ 时中心截面的最小与最大体积。

提出的方法

• 通过利用 Blaschke-Levy 积分表示的结构，推导出用 $ H $ 的导数表示 $ b $ 的逆公式。
• 利用逆公式分析赋范空间可等距嵌入 $ L_p $ 的条件。
• 应用逆公式通过傅里叶变换计算星体中心截面的体积。
• 利用所得公式计算 $ \ell_p^n $-球体中心截面体积的精确表达式。
• 运用泛函分析与调和分析中的技术，特别是球面上的傅里叶变换。
• 利用单位球面上函数的对称性与偶性，简化表示与反演过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Blaschke-Levy 表示中，如何显式给出从 $ H $ 恢复密度函数 $ b $ 的逆公式？
• RQ2 在何种条件下，赋范空间可等距嵌入 $ L_p $？逆公式在其中起到什么作用？
• RQ3 在 $ \mathbb{R}^n $ 中，星体的 $ (n-1) $-维中心截面体积的精确公式是什么？
• RQ4 当 $ 0 < p < 2 $ 时，$ \ell_p^n $-空间单位球的中心截面的最小与最大体积分别是多少？

主要发现

• 推导出了从 $ H $ 重构 $ b $ 的显式逆公式，以 $ H $ 的导数表示，实现了实际计算的可行性。
• 该逆公式为赋范空间等距嵌入 $ L_p $ 提供了充分条件，推动了解决 K. Leptin 于 1937 年提出的问题。
• 建立了 $ \mathbb{R}^n $ 中星体的 $ (n-1) $-维中心截面体积的傅里叶变换公式，将几何体积与调和分析联系起来。
• 利用所推导的公式，显式计算出 $ \ell_p^n $-球体单位球在 $ 0 < p < 2 $ 时中心截面的最小与最大体积。
• 结果表明，$ \ell_p^n $-球体中心截面的体积随 $ p $ 连续变化，且在特定 $ p $-值处达到极值。
• 通过证明逆公式刻画了生成测度的结构，推动了拟椭球体理论的发展。