[论文解读] Inverse images of generic maps and homology groups of the Reeb spaces

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过分析正则值的逆像及其对Reeb空间同调的影响，扩展了近期关于一般光滑映射的研究——Reeb空间是编码水平集结构的拓扑不变量。研究证明：若正则值的逆像不是零cobordant，则Reeb空间必具有非平凡同调，将Hiratuka与Saeki（2013–2014）的结果推广至更高维的更广泛光滑映射类。

ABSTRACT

As a higher dimensional version of the theory of Morse functions, there have been various studies of smooth manifolds using generic smooth maps. As fundamental results, in these studies, they have found that inverse images of such maps often restrict the types of the source manifolds. For example, if a generic map such that the inverse image of a regular value is not null-cobordant, then the homology group of its {\it Reeb} space, which is defined as the space of all the connected components of inverse images of the map and a fundamental tool in the theory of generic smooth maps, is known to be non-trivial. In this paper, we show similar results in new appropriate situations. These works are regarded as extensions of works by Hiratuka and Saeki in 2013--4.

研究动机与目标

• 将已知关于一般光滑映射Reeb空间同调结果的结论，推广至先前研究范围之外。
• 研究正则值逆像的cobordism类如何约束Reeb空间的拓扑结构。
• 建立新的条件，使得Reeb空间必然具有非平凡同调，从而扩展Hiratuka与Saeki的早期发现。
• 为理解一般光滑映射对源流形施加的拓扑限制，提供一个框架。

提出的方法

• 分析光滑流形之间一般光滑映射下正则值的逆像。
• 应用cobordism理论，判断逆像是否为零cobordant。
• 利用Reeb空间构造法，将逆像的连通分支作为商空间中的点进行编码。
• 对Reeb空间应用同调理论，以检测非平凡的拓扑结构。
• 以Hiratuka与Saeki在2013–2014年已知结果作为基础工具。
• 建立非零cobordant逆像与Reeb空间中非平凡同调之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一般光滑映射中正则值的逆像不是零cobordant？
• RQ2 逆像的cobordism类的非平凡性如何影响Reeb空间的同调？
• RQ3 Hiratuka与Saeki关于Reeb空间同调的结果能否推广至更广泛的一般光滑映射类？
• RQ4 非零cobordant逆像对源流形施加了何种拓扑限制？
• RQ5 Reeb空间构造如何反映一般光滑映射的全局结构？

主要发现

• 若一般光滑映射下正则值的逆像不是零cobordant，则该映射对应的Reeb空间具有非平凡同调。
• 该结果将Hiratuka与Saeki（2013–2014）的早期发现推广至高维光滑映射。
• Reeb空间同调的非平凡性与正则值逆像的cobordism类直接相关。
• 本研究基于水平集的cobordism类型，建立了某些光滑映射的拓扑障碍。
• Reeb空间作为基本不变量，其同调可检测映射结构中的非平凡性。
• 本文为检测一般光滑映射水平集空间中的非平凡拓扑，提供了新准则。