[论文解读] Inverse of generalized Nevanlinna function that is holomorphic at infinity

Muhamed Borogovac|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在导数在无穷远处有有界逆的条件下，为在无穷远处全纯的广义 Nevanlinna 函数 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 建立了其逆的新型算子表示。逆函数 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 可分解为两个分量 $ \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $，每个分量分别属于广义 Nevanlinna 类 $ \mathcal{N}_{\kappa_1} $ 和 $ \mathcal{N}_{\kappa_2} $，且满足 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $，从而可通过更简单的子分量实现结构分析。

ABSTRACT

Let $\left(\mathcal{H},\left(.,. ight) ight)$ be a Hilbert space and let $\mathcal{L}\left(\mathcal{H} ight)$ be the linear space of bounded operators in $\mathcal{H}$. In this paper, we deal with $\mathcal{L}(\mathcal{H})$-valued function $Q$ that belongs to the generalized Nevanlinna class $\mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$, where $κ$ is a non-negative integer. It is the class of functions meromorphic on $C \backslash R$, such that $Q(z)^{*}=Q(\bar{z})$ and the kernel $\mathcal{N}_{Q}\left( z,w ight):=\frac{Q\left( z ight)-{Q\left( w ight)}^{\ast }}{z-\bar{w}}$ has $κ$ negative squares. A focus is on the functions $Q \in \mathcal{N}_κ (\mathcal{H})$ which are holomorphic at $ \infty$. A new operator representation of the inverse function $\hat{Q}\left( z ight):=-{Q\left( z ight)}^{-1}$ is obtained under the condition that the derivative at infinity $Q^{'}\left( \infty ight):=\lim\limits_{z o \infty}{zQ(z)}$ is boundedly invertible operator. It turns out that $\hat{Q}$ is the sum $\hat{Q}=\hat{Q}_{1}+\hat{Q}_{2},\, \, \hat{Q}_{i}\in \mathcal{N}_{κ_{i}}\left( \mathcal{H} ight)$ that satisfies $κ_{1}+κ_{2}=κ$. That decomposition enables us to study properties of both functions, $Q$ and $\hat{Q}$, by studying the simple components $\hat{Q}_{1}$ and $\hat{Q}_{2}$.

研究动机与目标

• 推导在无穷远处全纯的广义 Nevanlinna 函数 $ Q \in \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 的逆的新型算子表示。
• 在无穷远处导数 $ Q'(\infty) $ 有有界逆的条件下，分析 $ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 的结构。
• 将 $ \hat{Q} $ 分解为两个属于 $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $ 类的函数，使得 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $，从而便于分析其谱性质与几何性质。
• 提供一种基于 Krein 空间与 Pontryagin 空间中算子理论工具的构造性方法，用于计算 $ \hat{Q}_1 $ 与 $ \hat{Q}_2 $。

提出的方法

• 使用广义 Nevanlinna 类 $ \mathcal{N}_\kappa(\mathcal{H}) $ 的定义：在 $ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $ 上亚纯，满足对称性 $ Q(z)^* = Q(\bar{z}) $，且其核具有 $ \kappa $ 个负平方。
• 在 Krein 空间框架下应用涉及自伴算子 $ A $、基本对称性 $ J $ 以及一对算子 $ \Gamma $、$ \Gamma^+ $ 的算子表示。
• 通过 $ A $ 的预解式及对空间正则部分的投影，推导出 $ \hat{Q}_1(z) = \hat{S} + z\hat{G} $。
• 通过公式 $ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $ 计算 $ \hat{Q}_2(z) $，避免直接计算 (4.2) 中的复杂数学表达式。
• 利用投影 $ P $ 到正则子空间与 $ I-P $ 到奇异子空间，分离预解式及其相关算子的分量。
• 利用 Krein 空间及其关联 Hilbert 空间的结构，定义内积与拓扑，确保 $ Q'(\infty) $ 的有界可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当广义 Nevanlinna 函数在无穷远处全纯且其在无穷远处的导数有有界逆时，其逆函数如何以算子形式表示？
• RQ2 在负指数受控的条件下，$ \hat{Q} = -Q^{-1} $ 的分解结构如何？
• RQ3 能否在 Krein 空间中通过算子理论构造，显式计算分量 $ \hat{Q}_1 $ 与 $ \hat{Q}_2 $？
• RQ4 广义 Nevanlinna 函数 $ Q $ 的负指数 $ \kappa $ 如何在 $ \hat{Q}_1 $ 与 $ \hat{Q}_2 $ 之间分配？$ \kappa_1 $ 与 $ \kappa_2 $ 由什么决定？
• RQ5 极点消去函数在识别 $ Q $ 的零点中起什么作用？它与 $ \hat{Q}_2 $ 的结构有何关联？

主要发现

• 在 $ Q'(\infty) $ 有有界逆的条件下，逆函数 $ \hat{Q}(z) = -Q(z)^{-1} $ 允许分解为 $ \hat{Q} = \hat{Q}_1 + \hat{Q}_2 $，其中 $ \hat{Q}_i \in \mathcal{N}_{\kappa_i}(\mathcal{H}) $ 且 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa $。
• 分量 $ \hat{Q}_1(z) $ 显式表示为 $ \hat{S} + z\hat{G} $，其中 $ \hat{S} $ 与 $ \hat{G} $ 由 $ Q $ 的算子表示导出，具有计算可及性。
• 分量 $ \hat{Q}_2(z) $ 通过间接方式计算：$ \hat{Q}_2(z) = \hat{Q}(z) - \hat{Q}_1(z) $，避免了对复杂数学表达式 (4.2) 的直接求值，从而在实际计算中简化了过程。
• 在示例中，$ \hat{Q}_1(z) $ 的指数为 $ \kappa_1 = 1 $，$ \hat{Q}_2(z) $ 的指数为 $ \kappa_2 = 1 $，验证了 $ \kappa_1 + \kappa_2 = \kappa = 2 $，与理论一致。
• $ \hat{Q}_2(z) $ 中 $ z = -1 $ 处的极点对应于 $ Q(z) $ 的零点，通过极点消去函数 $ \eta(z) = \begin{bmatrix} 1+z \\ 0 \end{bmatrix} $ 验证，如 [3, 定义 3.1] 所定义。
• 该方法通过将 $ Q $ 与 $ \hat{Q} $ 的结构简化为研究两个具有更少负平方的 $ \mathcal{N}_{\kappa_i} $-函数，从而实现了对它们的结构分析。