[论文解读] Inverse Optimal Stopping

Thomas Kruse, Philipp Strack|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文通过刻画使给定停止时间 τ⋆ 最优的时间依赖扰动函数 π，解决了对一维扩散过程的逆最优停止问题。证明了 τ⋆ 必须是时变边界 b(t) 的首 hitting 时间，并以反射扩散 Ŷ 的形式导出了 π 的闭式表达式，从而得到关于 b(t) 的新积分方程。

ABSTRACT

Let $X$ be a one-dimensional diffusion and $g$ a payoff function depending on time and the value of $X$. The paper analyzes the inverse optimal stopping problem of finding a time-dependent function $\pi:[0,T] o\mathbb{R}$ such that a given stopping time $ au^{\star}$ is a solution of the stopping problem $\sup_{ au\in[0,T]}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au})+\pi( au) ight]$. Under regularity and monotonicity conditions, there exists a solution $\pi$ if and only if $ au^{\star}$ is the first time $X$ exceeds a time-dependent cut-off $b$, i.e. $ au^{\star}=\inf\left\{ t\ge0\,|\, X_{t}\ge b(t) ight\}\wedge T \,.$ We prove uniqueness of the solution $\pi$ and derive a closed form representation. The representation is based on the process $ ilde{X}$ which is a version of the original diffusion $X$ reflected at $b$, \[ \pi(t)=\mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}(\partial_{t}+\mathcal{L}g)(s, ilde{X}_{s})\mathrm{d}s\,|\, ilde{X}_{t}=b(t) ight]\,. \] The results lead to a new integral equation characterizing the stopping boundary $b$ of the stopping problem $\sup_{ au\in\mathcal{T}}\mathbb{E}\left[g( au,X_{ au}) ight]$.

研究动机与目标

• 确定给定停止时间 τ⋆ 在时间依赖收益 g(t, X_t) 下最优的条件。
• 求解逆问题：寻找时间依赖函数 π(t)，使得 τ⋆ 在扰动收益 g(τ, X_τ) + π(τ) 下仍保持最优。
• 以扩散过程 X 和收益 g 的形式刻画最优停止边界 b(t) 的结构。
• 利用反射扩散 Ŷ 推导扰动 π(t) 的闭式表达式。

提出的方法

• 假设 τ⋆ 是时变边界 b(t) 的首 hitting 时间，即 τ⋆ = inf{t ≥ 0 | X_t ≥ b(t)} ∧ T。
• 引入反射扩散 Ŷ，即 X 在 b(t) 处被反射的版本，以分析边界行为。
• 推导出表示式 π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)]，其中 ℒ 是 X 的生成元。
• 通过 g 和 b 的正则性与单调性条件，确保 π 的存在性与唯一性。
• 证明 π 存在且唯一当且仅当 τ⋆ 是 b(t) 的 hitting 时间。
• 通过将 π 的表示式与最优性条件结合，推导出关于边界 b(t) 的新积分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定的停止时间 τ⋆ 允许存在时间依赖的扰动 π(t)，使其在收益 g(τ, X_τ) 下保持最优？
• RQ2 在逆问题中，使 τ⋆ 最优的扰动 π(t) 的显式形式是什么？
• RQ3 最优停止边界 b(t) 如何以扩散过程 X 和收益 g 的形式被刻画？
• RQ4 逆问题能否被简化为涉及反射扩散 Ŷ 的表示式？
• RQ5 在原始最优停止问题中，控制边界 b(t) 的积分方程是什么？

主要发现

• 当且仅当 τ⋆ 是时变边界 b(t) 的首 hitting 时间时，停止时间 τ⋆ 才对扰动问题最优。
• 扰动函数 π(t) 具有闭式表达式，涉及反射扩散 Ŷ 沿路径的条件期望，以及时间-空间生成元作用于 g 的结果。
• 在正则性与单调性条件下，表示式 π(t) = ℰ[∫_t^T (∂_t + ℒ)g(s, Ŷ_s) ds | Ŷ_t = b(t)] 是最优性的必要且充分条件。
• 在所述条件下，解 π 是唯一的。
• 研究结果导出了一个新积分方程，用于刻画原始问题（无扰动）中最优停止边界 b(t) 的特征。
• 反射扩散 Ŷ 在表达 π 及连接逆问题与直接最优停止问题中起核心作用。