[论文解读] Inverse Problem for Fractional-Laplacian with Lower Order Non-local Perturbations

Sombuddha Bhattacharyya, Tuhin Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用 17

一句话总结

本文研究带有低阶非局部扰动的分数阶拉普拉斯算子的反问题，结合了全局与区域分数阶拉普拉斯算子。通过使用柯西数据的单个外部测量，结合Runge逼近和由Dirichlet-to-Neumann映射导出的积分恒等式，建立了唯一性，即恢复非局部系数 $ b $ 和势 $ q $ 的唯一性。

ABSTRACT

In this article, we study a model problem featuring a Lévy process in a domain with semi-transparent boundary by considering the following perturbed fractional Laplacian operator \[\mathscr{L}_{b,q} := (-Δ)^t + (-Δ)_Ω^{s/2} \ b (-Δ)_Ω^{s/2} + q, \quad 0

研究动机与目标

• 使用带有非局部扰动的分数阶拉普拉斯算子，建模有界区域中具有半透明边界条件的Lévy过程。
• 建立算子 $ \mathscr{L}_{b,q} $ 的直接问题的适定性与定性性质。
• 研究从外部柯西数据恢复系数 $ b $ 和 $ q $ 的反问题。
• 利用Runge型逼近和积分恒等式，证明仅凭单次测量即可唯一恢复 $ b $ 和 $ q $。

提出的方法

• 构造算子 $ \mathscr{L}_{b,q} = (-\Delta)^t + b(-\Delta)^{s/2}_\Omega + q $，其中 $ 0 < s < t < 1 $，结合全局与区域非局部性。
• 使用Dirichlet外部值问题：在 $ \Omega $ 中 $ \mathscr{L}_{b,q}u = 0 $，在 $ \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega} $ 中 $ u = f $，其中 $ f \in \widetilde{H}^t(\Omega_e) $。
• 导出涉及系数差 $ b_1 - b_2 $ 和 $ q_1 - q_2 $ 以及解 $ u_f $ 的积分恒等式，利用 $ \widetilde{W} \subset \Omega_e $ 上的法向量数据。
• 应用Runge型逼近，证明 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ 和 $ u_f $ 在 $ L^2(\mathcal{O}) $ 中稠密，其中 $ \mathcal{O} \Subset \Omega $ 包含 $ b_k, q_k $ 的支集。
• 利用区域分数阶拉普拉斯算子的核空间中 $ C_c^\infty(\Omega) $ 的稠密性，推导出在 $ \Omega $ 中 $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ 且 $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $。
• 利用唯一延拓性与支集不相交的论证，从单个外部测量推出 $ b_1 = b_2 $ 且 $ q_1 = q_2 $ 在 $ \Omega $ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅凭柯西数据的单个外部测量唯一恢复非局部系数 $ b $ 和势 $ q $？
• RQ2 全局与区域分数阶拉普拉斯算子的组合是否允许在反问题设定中实现Runge型逼近？
• RQ3 区域分数阶拉普拉斯算子 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega $ 在实现系数恢复中起到什么作用？
• RQ4 通过 $ b $ 建模的半透明边界条件如何影响反问题的结构？
• RQ5 当 $ b $ 和 $ q $ 均未知时，能否仅凭一次测量求解该反问题？

主要发现

• 算子 $ \mathscr{L}_{b,q} $ 的反问题具有唯一解：若外部某开子集上的法向量数据一致，则 $ b_1 = b_2 $ 且 $ q_1 = q_2 $ 在 $ \Omega $ 中。
• Dirichlet问题的解 $ u_f $ 满足在 $ \Omega $ 中 $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ 且 $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $，对所有 $ f \in C_c^\infty(W) $ 成立。
• 在 $ L^2(\mathcal{O}) $ 中 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ 的稠密性，结合Runge逼近，意味着 $ b_1 = b_2 $ 在 $ \Omega $ 中。
• 在相同条件下，$ u_f $ 在 $ L^2(\mathcal{O}) $ 中的稠密性意味着 $ q_1 = q_2 $ 在 $ \Omega $ 中。
• $ b_1 - b_2 $ 与 $ q_1 - q_2 $ 的支集互不相交且不能互补，若非零则导致矛盾，因此两者必须恒为零。
• 证明依赖于唯一延拓性，以及若在某区域中 $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega v = 0 $ 且迹为零，则必有 $ v \equiv 0 $，从而保证唯一性。