[论文解读] Inverse Problems for Matrix Exponential in System Identification: System Aliasing

Zuogong Yue, Johan Thunberg+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Control Systems and Identification参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文研究在低采样率下，对具有稀疏或部分已知 A 矩阵的连续时间线性系统进行系统辨识。提出了‘系统混叠’现象——由于采样不足导致矩阵对数非唯一——并引入稀疏性约束与弗雷chet导数，以在有限等价类内识别 A 矩阵。主要贡献是建立了一个理论框架，确保在稀疏性与范数约束下可辨识性，并推导出避免混叠的最小采样频率。

ABSTRACT

This note addresses identification of the $A$-matrix in continuous time linear dynamical systems on state-space form. If this matrix is partially known or known to have a sparse structure, such knowledge can be used to simplify the identification. We begin by introducing some general conditions for solvability of the inverse problems for matrix exponential. Next, we introduce "system aliasing" as an issue in the identification of slow sampled systems. Such aliasing give rise to non-unique matrix logarithms. As we show, by imposing additional conditions on and prior knowledge about the $A$-matrix, the issue of system aliasing can, at least partially, be overcome. Under conditions on the sparsity and the norm of the $A$-matrix, it is identifiable up to a finite equivalence class.

研究动机与目标

• 在数据稀疏采样时，解决连续时间线性系统中 A 矩阵辨识的挑战。
• 将‘系统混叠’形式化为由于采样率过低导致矩阵对数非唯一性的根源。
• 提供在稀疏性与范数约束下，A 矩阵可唯一识别至有限等价类的条件。
• 建立避免系统混叠并确保逆问题可解的最小采样频率。
• 开发一个框架，用于在混叠系统表示中选择最稀疏的解，以增强结构可解释性。

提出的方法

• 使用主矩阵对数（Log）和通过若尔当代数标准型的广义对数，刻画所有满足 e^A = P 的解。
• 应用弗雷chet导数建模矩阵指数与对数的敏感性，通过 vec(Lexp) = K(X,0)vec(E) 实现线性近似。
• 将候选 A 矩阵集合 S 定义为 A = Ā + E，其中 E ∈ S，并通过条带 G(1) 对特征值施加约束以确保唯一性。
• 引入解的等价类概念（A ∼ A'），基于相同的 e^{hA}，并利用 Z(A) 的弗罗贝尼乌斯范数来区分它们。
• 通过二次型与特征值约束推导对数解中整数偏移 δk 的界，以证明解的有限性。
• 利用条件 L ∩ ker(D) = {0} 确保测量矩阵 D 可在辨识过程中区分不同的 E 扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续时间系统辨识中，离散时间转移矩阵的矩阵对数在何种条件下是唯一定义的？
• RQ2 低采样频率如何导致系统混叠？避免混叠的最小采样率是多少？
• RQ3 能否利用 A 矩阵的稀疏性约束来解决矩阵指数辨识逆问题中的非唯一性？
• RQ4 当发生系统混叠时，逆问题的解集结构如何？是否可简化为有限等价类？
• RQ5 如何利用数学约束与优化方法，从混叠表示中选择最稀疏的解？

主要发现

• 基于 A 矩阵的谱特性，推导出避免系统混叠所需的最小采样频率。
• 当 A 矩阵稀疏且其范数有界时，从 e^{hA} 辨识 A 的逆问题的解集在等价意义下是有限的。
• 一般情况下，e^A = P 的不同解的数量是可数无穷多，但在稀疏性与范数约束下，仅有有限多个可能。
• 同一等价类中不同解 A 与 A' 的弗罗贝尼乌斯范数差距下界由正数 M(Ā) > 0 限定。
• 可在围绕真实 A 矩阵的有界范数区间 [κl, κu] 内唯一选择一个解，确保在有限类内的可辨识性。
• 对数解中整数偏移 δk 的集合是有限的，且受涉及特征值与范数约束的二次不等式所限制。