[论文解读] Inverse problems for $p$-Laplace type equations under monotonicity assumptions

Chang‐Yu Guo, Manas Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文在单调性假设下，建立了通过非线性Dirichlet-to-Neumann映射识别$p$-Laplace型方程中电导率$\sigma$的反问题的唯一性。在单调性假设（$\sigma_1 \geq \sigma_2$）下，通过单调性不等式与唯一延拓性，在二维情形证明了相同DN映射蕴含相同电导率；在高维情形，唯一性对接近常数的电导率成立。

ABSTRACT

We consider inverse problems for $p$-Laplace type equations under monotonicity assumptions. In two dimensions, we show that any two conductivities satisfying $σ_1 \geq σ_2$ and having the same nonlinear Dirichlet-to-Neumann map must be identical. The proof is based on a monotonicity inequality and the unique continuation principle for $p$-Laplace type equations. In higher dimensions, where unique continuation is not known, we obtain a similar result for conductivities close to constant.

研究动机与目标

• 在单调性假设下，解决$p$-Laplace型方程的反电导率问题。
• 从非线性Dirichlet-to-Neumann映射$\Lambda_\sigma$出发，建立电导率$\sigma$的唯一性。
• 将Calderón问题推广至线性化失效的非线性情形。
• 通过限制电导率接近常数，应对高维情形下唯一延拓性未知的挑战。

提出的方法

• 在假设$\sigma_1 \geq \sigma_2$下，利用单调性不等式比较DN映射。
• 在二维情形应用$p$-Laplace型方程的唯一延拓原理。
• 利用复分析与拟正则映射分析$\mathbb{C}$中的$p$-调和函数。
• 通过加权$q$-调和对偶（$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）建立解的局部$W^{1,2}$正则性。
• 通过拟共形映射与Hölder连续函数构造解的表示形式。
• 分析复导数$\partial_{\bar{z}}F$的结构，推导出具有有界系数的Beltrami型方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维情形下，若满足单调性$\sigma_1 \geq \sigma_2$，能否从非线性Dirichlet-to-Neumann映射$\Lambda_\sigma$唯一确定电导率$\sigma$？
• RQ2 当$\sigma_1 \geq \sigma_2$时，$p$-Laplace方程的唯一延拓性是否足以保证二维情形下的唯一性？
• RQ3 在高维情形下，当唯一延拓性未知时，若电导率在常数附近有小扰动，唯一性是否仍可实现？
• RQ4 单调性不等式能否用于推导非线性反问题中的先验估计或包含物检测？
• RQ5 以复数形式表示的$p$-调和函数的正则性与结构如何影响反问题的可解性？

主要发现

• 在二维情形下，若$\sigma_1 \geq \sigma_2$且$\Lambda_{\sigma_1} = \Lambda_{\sigma_2}$，则几乎处处有$\sigma_1 = \sigma_2$。
• 该证明依赖于单调性不等式与$p$-Laplace型方程的唯一延拓原理。
• 在高维情形下，当电导率$\sigma$充分接近常数函数时，唯一性成立。
• 解的结构通过拟正则映射与形如$\partial_{\bar{z}}F = q_1 \partial_z F + q_2 \overline{\partial_z F} + H(z,F)$的复微分方程分析，其中$|q_1| + |q_2| < 1$。
• 通过$ q > 2 $的加权对偶$q$-调和方程，建立了$F$的局部$W^{1,2}_{\text{loc}}$正则性，确保复分析方法的有效性。
• 若$u$在某开集上为常数，则$F_a \equiv 0$蕴含$u$全局为常数，确认了在$p$-Laplace框架下解的强刚性。