[论文解读] Inverse problems for the stationary transport equation in the diffusion scaling

Ru-Yu Lai, Qin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了在扩散尺度下反演辐射转移方程（RTE）中光学参数的稳定性估计，表明尽管该问题具有Lipschitz稳定性，但当Knudsen数（Kn）减小时，Lipschitz常数会呈指数增长。这解释了在小Kn区域中扩散方程反问题的严重不适定性，弥合了RTE反问题（轻微不适定）与扩散方程反问题（严重不适定）之间在不适定性严重程度上的关键差异。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of reconstructing the optical parameters of the radiative transfer equation (RTE) from boundary measurements in the diffusion limit. In the diffusive regime (the Knudsen number $\mathsf{Kn}\ll 1$), the forward problem for the stationary RTE is well approximated by an elliptic equation. However, the connection between the inverse problem for the RTE and the inverse problem for the elliptic equation has not been fully developed. This problem is particularly interesting because the former one is mildly ill-posed , with a Lipschitz type stability estimate, while the latter is well known to be severely ill-posed with a logarithmic type stability estimate. In this paper, we derive stability estimates for the inverse problem for RTE and examine its dependence on $\mathsf{Kn}$. We show that the stability is Lipschitz in all regimes, but the coefficient deteriorates as $e^{\frac{1}{\mathsf{Kn}}}$, making the inverse problem of RTE severely ill-posed when $\mathsf{Kn}$ is small. In this way we connect the two inverse problems. Numerical results agree with the analysis of worsening stability as the Knudsen number gets smaller.

研究动机与目标

• 澄清在小Kn区域下辐射转移方程（RTE）反问题与扩散方程之间的联系。
• 分析RTE反问题的稳定性及其对Knudsen数（Kn）的依赖性。
• 解释为何RTE反问题表现为轻微不适定（Lipschitz稳定性），而对应的扩散方程反问题则为严重不适定（对数稳定性）。
• 推导揭示Lipschitz常数随Kn→0而指数恶化程度的定量稳定性估计。
• 通过数值实验验证理论结果，展示随着Kn减小，稳定性持续恶化。

提出的方法

• 推导在扩散尺度下反演RTE中总吸收系数σ_Kn的反问题的稳定性估计。
• 利用边界测量核的阿尔贝多算子的奇异分解来分析边界测量的结构。
• 建立RTE反问题的Lipschitz型稳定性估计，其中Lipschitz常数依赖于1/Kn的指数形式。
• 分析当Kn→0时阿尔贝多算子的渐近行为，表明主导奇异部分（A₁）呈指数衰减。
• 数值计算阿尔贝多算子及其奇异部分A₁的算子范数，以验证理论预测的衰减与发散行为。
• 通过改变Kn、σ_s和扰动大小z进行数值实验，验证理论对1/Kn和z的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩散尺度下，RTE反问题的稳定性如何依赖于Knudsen数Kn？
• RQ2 尽管RTE与扩散方程在渐近意义下等价，为何RTE反问题表现为轻微不适定（Lipschitz），而对应的扩散方程反问题却为严重不适定（对数稳定性）？
• RQ3 稳定性常数对Kn的精确依赖关系是什么？它如何解释不适定性转变的机制？
• RQ4 当Kn→0时，阿尔贝多算子奇异部分A₁的指数衰减能否在数值上得到验证？
• RQ5 对于小Kn，两个阿尔贝多算子之间的差异是否如理论预测的那样按e^{-c/ Kn}缩放？

主要发现

• RTE反问题表现出Lipschitz稳定性，但Lipschitz常数随e^{1/ Kn}增长，导致在小Kn（扩散）区域出现严重不适定性。
• 数值结果证实，阿尔贝多算子奇异部分A₁的算子范数随1/ Kn增加而呈指数衰减，与e^{-0.1/ Kn}一致。
• 对于固定扰动大小z=0.025，两个阿尔贝多算子之间的差异∥A - Ã∥_*按e^{-0.05/ Kn}衰减，与理论预测的指数依赖关系一致。
• 当Kn→0时，完整阿尔贝多算子A与其奇异部分A₁之间的差异增大，表明A₁对A的贡献减小，使得参数分离变得困难。
• 数值实验表明，当Kn固定为1时，∥A - Ã∥_*对扰动大小z呈线性依赖，支持Lipschitz连续性结果。
• 尽管计算仅限于有限的Kn和z值，理论推导的稳定性常数上界仍得到数值验证。