[论文解读] Inverse scattering at fixed energy on asymptotically hyperbolic Liouville surfaces

Thierry Daudé, Niky Kamran+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文证明了具有两个端点的渐近双曲黎曼曲面的完整度量可由固定非零能量下的散射矩阵的反射系数唯一重构。通过将波动方程分离为径向和角向常微分方程，作者利用广义Weyl-Titchmarsh函数与复角动量方法，将逆散射问题简化为径向方程的1维逆问题，从而在固定能量散射数据下证明了唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we study an inverse scattering problem on Liouville surfaces having two asymptotically hyperbolic ends. The main property of Liouville surfaces consists in the complete separability of the Hamilton-Jacobi equations for the geodesic flow. An important related consequence is the fact that the stationary wave equation can be separated into a system of a radial and angular ODEs. The full scattering matrix at fixed energy associated to a scalar wave equation on asymptotically hyperbolic Liouville surfaces can be thus simplified by considering its restrictions onto the generalized harmonics corresponding to the angular separated ODE. The resulting partial scattering matrices consists in a countable set of $2 \ imes 2$ matrices whose coefficients are the so called transmission and reflection coefficients. It is shown that the reflection coefficients are nothing but generalized Weyl-Titchmarsh functions for the radial ODE in which the generalized angular momentum is seen as the spectral parameter. Using the Complex Angular Momentum method and recent results on 1D inverse problem from generalized Weyl-Titchmarsh functions, we show that the knowledge of the reflection operators at a fixed non zero energy is enough to determine uniquely the metric of the asymptotically hyperbolic Liouville surface under consideration.

研究动机与目标

• 解决具有两个端点的渐近双曲黎曼曲面在固定能量下的逆散射问题。
• 确定单个非零能量下的散射数据是否能唯一确定底层黎曼度量。
• 利用角向分离与谱理论，将完整逆问题简化为径向常微分方程的1维逆问题。
• 利用广义Weyl-Titchmarsh函数与复角动量方法，建立从反射算子出发的度量重构唯一性。

提出的方法

• 利用黎曼曲面结构将定态波动方程分离为径向与角向常微分方程。
• 将完整的散射矩阵表示为对应于广义球谐函数的可数个2×2部分散射矩阵的集合。
• 将反射系数识别为以广义角动量为谱参数的径向常微分方程的广义Weyl-Titchmarsh函数。
• 应用复角动量（CAM）方法分析复平面上散射数据的解析性质。
• 利用Phragmen-Lindelöf定理与Liouville定理，证明散射数据唯一确定径向势能。
• 借助近期关于广义Weyl-Titchmarsh函数的1维逆问题结果，从反射数据恢复完整度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否由固定非零能量下散射矩阵的反射系数唯一确定渐近双曲黎曼曲面的度量？
• RQ2 单个能量下的散射数据是否足以重构分离后波动方程中的径向势能？
• RQ3 广义Weyl-Titchmarsh函数在连接径向散射数据与逆问题中起什么作用？
• RQ4 复角动量方法能否有效应用于非紧致、奇异黎曼曲面上的逆问题？
• RQ5 固定能量下的透射算子是否也足以实现度量的唯一重构，还是存在共谱但非等距的曲面？

主要发现

• 在固定非零能量 $ \theta \neq 0 $ 下，反射算子 $ L(\theta) $ 或 $ R(\theta) $ 的知识可唯一确定渐近双曲黎曼曲面的度量。
• 反射系数被识别为以广义角动量 $ \mu^2 $ 作为谱参数的径向常微分方程的广义Weyl-Titchmarsh函数。
• 通过复角动量方法，作者证明散射数据为阶为 $ \frac{1}{2} $ 的整函数，从而可应用经典复分析工具。
• 当 $ \mu \to \pm\infty $ 时，特征函数 $ \Delta_q(\mu^2) $ 的渐近行为表明，径向势能 $ q(x) $ 可由散射数据唯一恢复。
• 证明依赖于由散射数据导出的函数 $ P_{11}(x,\mu^2) $ 与 $ P_{12}(x,\mu^2) $ 为整函数且有界，因此为常数，从而得出 $ P_{11} = 1 $，$ P_{12} = 0 $，这蕴含解的唯一性。
• 提出一个开放问题：固定能量下透射算子 $ T_L(\theta) $ 或 $ T_R(\theta) $ 是否也唯一确定度量，推测由于共谱势能的存在，可能存在非唯一性。