[论文解读] Inverse scattering transform and soliton solutions for the focusing Kundu-Eckhaus equation with nonvanishing boundary conditions

Jin‐Jie Yang, Shou‐Fu Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文为具有非零边界条件（NZBC）的聚焦 Kundu-Eckhaus（KE）方程构建了黎曼-希尔伯特（RH）问题框架，通过逆散射变换推导出孤子解。研究建立了简单零点与双重零点的散射系数的迹公式和θ条件，揭示了当离散本征值趋近奇点时，解演化为怪波的现象。

ABSTRACT

The focusing Kundu-Eckhaus (KE) equation with non-zero boundary conditions at infinity, under two cases: simple zeros and double zeros, is investigated systematically via Riemann-Hilbert (RH) problem. We derive some new results for the equation including the following seven parts. (I) The analyticities and symmetries of the Jost function and the scattering matrix are analyzed with the help of the normalized Lax pair. (II) Based on the resulting symmetries, the corresponding discrete spectrum set and residue conditions of scattering coefficients are further obtained, which is very important to construct the formulae of solution to the original equation. (III) A generalized RH problem is established by combining the analytic properties of Jost functions and modified eigenfunctions. (IV) The RH problem is solved by the corresponding asymptotic behavior combined with the Plemelj's formulae and Cauchy operator. The expression of the solution to the focusing KE equation is given under the condition of non-reflection. (V) From the reflection coefficients and discrete spectrums, the trace formula and the corresponding theta condition are given to obtain the phase difference of the initial value at the boundary. (VI) For the double zeros, there is a similar framework from the set of discrete spectral points, but the operation process is much more complicated than that of simple zeros, and new results and phenomena appear. (VII) Some interesting phenomena are obtained that one of the solutions is gradually to rouge waves when the spectrum points tend to singular points by choosing appropriate parameters.

研究动机与目标

• 通过逆散射理论系统求解具有非零边界条件的聚焦 Kundu-Eckhaus 方程。
• 解决逆散射过程中多值函数与非零谱行为带来的挑战。
• 推导出简单与双重离散谱点的孤子解，包括残数条件与对称性约束。
• 建立迹公式与θ条件，以确定无穷远处初始数据的相位差。
• 通过本征值在奇点附近的动力学行为，研究怪波解的出现机制。

提出的方法

• 利用归一化的 Lax 对构造 Jost 解与散射矩阵，分析其解析性与对称性性质。
• 引入仿射变换以映射黎曼曲面并消除多值性，从而实现广义 RH 问题的公式化。
• 利用 Plemelj 公式与柯西算子求解 RH 问题，在无反射条件下推导出解的表达式。
• 通过在谱轮廓上对对数积分的处理，推导出散射系数的迹公式，同时引入离散本征值。
• 通过分析解在 $ z \to 0 $ 时的行为，建立 θ 条件，将相位差与本征值位置关联。
• 利用 Maple 进行数值模拟，通过改变本征值参数，可视化孤子与怪波解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将逆散射变换推广至具有非零边界条件的聚焦 Kundu-Eckhaus 方程？
• RQ2 在 NZBC 情况下，Jost 函数与散射矩阵的解析性与对称性性质为何？
• RQ3 散射系数中的双重零点相较于简单零点，如何影响孤子解的结构？
• RQ4 哪些迹公式与 θ 条件控制无穷远处初始数据的相位差？
• RQ5 在何种参数区域内，孤子解会转变为类似怪波的结构？

主要发现

• 成功为具有非零边界条件的聚焦 KE 方程构建了黎曼-希尔伯特问题，通过仿射变换克服了多值性问题。
• 利用对数积分与离散本征值上的乘积项，推导出 $ s_{11}(z) $ 与 $ s_{22}(z) $ 的迹公式。
• 在无反射条件下，获得 θ 条件 $ \arg(q_-/q_+) = 8\sum_{n=1}^{N} \arg z_n $，将相位差与本征值位置关联。
• 针对双重零点，扩展了解的框架，尽管计算更复杂，但揭示了新的结构现象。
• 数值模拟显示，当离散本征值 $ z_1 \to 1/8 + i $ 时，呼吸子解演变为怪波形态。
• 随着本征值模长减小，解变得不规则，且 $ z_1 = i $ 处的奇点标志着解行为的关键转变。