[论文解读] Inverse scattering transform for the nonlocal reverse space-time Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Bao‐Feng Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文为具有非零边界条件（NZBCs）的非局部反向时空（RST）Sine-Gordon、Sinh-Gordon 及非线性薛定谔（NLS）方程发展了反散射变换（IST），解决了复杂的谱分支结构问题。推导出显式的 1- 和 2-孤子解，并揭示了一个关键区别：RST NLS 方程中散射数据的时间依赖性，与 Sine/Sinh-Gordon 方程不同。

ABSTRACT

The reverse space-time (RST) Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations were recently introduced and shown to be integrable infinite-dimensional dynamical systems. The inverse scattering transform (IST) for rapidly decaying data was also constructed. In this paper, IST for these equations with nonzero boundary conditions (NZBCs) at infinity is presented. The NZBC problem is more complicated due to the associated branching structure of the associated linear eigenfunctions. With constant amplitude at infinity, four cases are analyzed; they correspond to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase at infinity. Special soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton and 2-soliton solutions are found. In terms of IST, the difference between the RST Sine-Gordon/Sinh-Gordon equations and the RST NLS equation is the time dependence of the scattering data. Spatially dependent boundary conditions are also briefly considered.

研究动机与目标

• 将反散射变换（IST）推广至具有非零边界条件（NZBCs）的非局部反向时空（RST）可积方程，其复杂性高于衰减数据情形。
• 解决与 NZBCs 相关的线性特征函数中出现的谱分支结构问题，特别是针对 RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon 及 NLS 方程。
• 基于非线性项的两个符号与无穷远处的两个相位值，对解进行分类，形成 NZBCs 的四种不同情形。
• 为具有 NZBCs 的非局部 RST NLS 及 Sine/Sinh-Gordon 方程推导显式的 1-孤子与 2-孤子解。
• 阐明在 NZBCs 条件下，非局部 RST NLS 方程与 RST Sine/Sinh-Gordon 方程在散射数据时间演化上的差异。

提出的方法

• 将 AKNS 框架适配于非局部 RST 对称性约化 $ r(x,t) = \sigma q(-x,-t) $，其中 $ \sigma = \pm 1 $，以推导相应的线性特征值问题与时间演化方程。
• 应用统一变量技术，将黎曼曲面上的逆问题转化为上半平面与下半平面的标准 IST，从而解决由 NZBCs 引起的谱分支问题。
• 分析四种情形下的散射数据：两种非线性性（$ \sigma = \pm 1 $）与无穷远处的两种相位值（$ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $），对应不同的孤子行为。
• 推导散射数据的时间演化，表明对于 RST NLS 方程，散射数据显式依赖于时间，而 Sine/Sinh-Gordon 情形则不然。
• 利用反散射形式化构造 1- 与 2-孤子解，通过 Gelfand-Levitan-Marchenko 积分方程推导出显式公式。
• 简要扩展考虑空间依赖边界条件，但主要关注恒定振幅的 NZBCs。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将反散射变换推广至具有非零边界条件的非局部 RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon 及 NLS 方程？
• RQ2 在 NZBCs 条件下，这些方程的谱结构与散射数据结构为何？特别是关于黎曼曲面分支的问题？
• RQ3 在 NZBCs 条件下，非局部 RST NLS 方程与 RST Sine/Sinh-Gordon 方程在散射数据时间依赖性上存在何种差异？
• RQ4 这些非局部方程在 NZBCs 下的 1-孤子与 2-孤子解的显式形式为何？
• RQ5 奇异孤子解在何种条件下出现？其行为如何依赖于相位与非线性符号？

主要发现

• 成功构建了具有非零边界条件的非局部 RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon 及 NLS 方程的反散射变换，通过统一化方法解决了复杂的谱分支问题。
• 由非线性符号（$ \sigma = \pm 1 $）与无穷远处相位（$ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $）的组合，产生四种不同情形，每种情形具有独特的散射与孤子结构。
• 为所有四种情形推导出显式的 1-孤子解，包括在 $ \sigma = 1, \delta = -1 $ 与 $ \sigma = -1, \delta = 1 $ 情况下的奇异解，其闭式表达式涉及双曲函数与三角函数。
• 在 $ \sigma = 1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ 与 $ \sigma = -1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ 条件下，为非局部 RST NLS 方程显式构造了 2-孤子解，其行为依 $ \delta_1 \delta_2 = 1 $ 而异。
• 识别出一个关键区别：RST NLS 方程的散射数据显式依赖于时间，而 RST Sine/Sinh-Gordon 方程的散射数据则不依赖。
• 奇异孤子解被可视化，并显示其表现出非衰减、振荡或冲击波型波形，具体取决于参数，且所有情形下均给出了 $ q(x,t) $ 的明确公式。