[论文解读] Inverse source problems in transport via attenuated tensor tomography

Guillaume Bal, François Monard|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用 5

一句话总结

本论文通过衰减张量层析成像方法，在具有可变折射率的简单黎曼曲面上，建立了辐射传输中反源问题的单射性及其规范模下的单射性。针对具有多项式角依赖性的源，提供了构造性反演公式，并将结果扩展至具有有限谐波成分的散射核情形。

ABSTRACT

We establish results for the injectivity and injectivity modulo gauge of certain inverse source problems in transport on a simply connected domain with variable index of refraction inducing a 'simple geometry'. The model given by radiative transfer involves a scattering kernel with finite harmonic content in the deviation angle. The results on injectivity are constructive, and they are connected to the explicit inversion (modulo kernel) of the attenuated X-ray transform on tensor fields on simple Riemannian surfaces.

研究动机与目标

• 研究具有可变折射率和散射效应的辐射传输中的反源问题。
• 确定从边界测量中唯一重构源函数的条件。
• 当单射性不成立时，特别是针对具有多项式角依赖性的源，表征反问题的核（即规范）结构。
• 将显式反演方法从衰减X射线变换推广至包含散射的完整输运模型。
• 通过假设角偏离具有有限谐波成分，去除对散射核的“小量”假设。

提出的方法

• 以张量场上的衰减X射线变换为核心反演工具，利用衰减张量层析成像的最新进展。
• 应用复分析技术和全纯积分因子，求解存在散射时的输运方程。
• 将解和源分解为角向傅里叶模态（H₀, H₁等），以谐波分量分析问题。
• 实施规范固定程序，以重构唯一确定于核类中的源代表。
• 利用输运方程 (X + a)u = Su + f 且入射数据为零，通过定理15实现递归次数降低。
• 应用能量恒等式和椭圆正则性，从重构的势能中恢复源，特别是对零次和一次分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当散射核具有有限谐波成分时，辐射传输方程的反源问题在何种条件下是单射的？
• RQ2 当源函数 f 具有多项式角依赖性时，如何从边界测量 u|Γ₊ 显式重构源函数 f？
• RQ3 当单射性不成立时，反问题的核（即规范）结构是什么，如何对其进行表征？
• RQ4 是否可以将散射核的“小量”假设替换为角偏离的有限谐波成分条件？
• RQ5 在不求解包含散射的完整输运方程的前提下，该重构过程在多大程度上可实现高效且数值稳定？

主要发现

• 当散射核 k 具有有限谐波成分时，对于 f = f₀ + f₁（零次和一次）的源，反源问题具有单射性，且解可显式重构。
• 对于更高次的源，单射性不成立，其核表征为所有满足 f = (X + a − S)p 的源，其中 p ∈ W¹,²₀(M) 为 m−1 次的元素。
• 重构过程稳定且高效，仅涉及自由输运求解，无需微分或迭代散射求解。
• 该方法为张量场上的衰减X射线变换提供了完全构造性的反演，通过规范固定确保唯一性。
• 在欧氏圆盘中，结果给出了显式重构公式，推广了无散射情形下的先前工作。
• 通过诺伊曼边界条件和由矩方程导出的二阶椭圆PDE，f₀ 和 f₁ 的解被唯一确定。