[论文解读] Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials, II. Reconstruction by two spectra

Rostyslav Hryniv, Ya. V. Mykytyuk|ArXiv.org|Jan 18, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过从两个谱中重构势函数和边界条件，解决了在 $W^{-1}_2(0,1)$ 中具有奇异势函数的 Sturm-Liouville 算子的逆谱问题。利用特征值渐近性与范数常数，建立了两个序列成为此类算子谱的充要条件，并提供了重构算法，证明了尽管势函数表示不唯一，但势函数和算子仍具有唯一性。

ABSTRACT

We solve the inverse spectral problem of recovering the singular potentials $q\in W^{-1}_{2}(0,1)$ of Sturm-Liouville operators by two spectra. The reconstruction algorithm is presented and necessary and sufficient conditions on two sequences to be spectral data for Sturm-Liouville operators under consideration are given.

研究动机与目标

• 通过两个谱恢复 $W^{-1}_2(0,1)$ 中的奇异势函数 $q = \sigma'$。
• 确定两个特征值序列成为具有相同奇异势函数但不同边界条件的 Sturm-Liouville 算子谱的充要条件。
• 开发一种重构算法，从两个谱中恢复势函数 $\sigma$ 和边界条件参数 $h_1, h_2$。
• 证明尽管 $\sigma$ 的表示不唯一，但势函数 $q = \sigma'$ 和算子 $T(\sigma, H, h_1)$、$T(\sigma, H, h_2)$ 仍由两个谱唯一确定。

提出的方法

• 利用在 $x=0$ 处具有 Dirichlet 条件、在 $x=1$ 处具有 Robin 型条件的算子的精细特征值渐近性。
• 应用包括特征值和范数常数在内的谱数据，利用先前工作 [11] 中关于谱数据逆问题的结果。
• 将双谱问题转化为经典逆问题，即从谱和范数常数中恢复势函数和边界条件。
• 利用 $L_2(0,1)$ 中正弦与余弦系统在 Riesz 基理论下的性质，分析谱渐近性并构造双正交系统。
• 推导特征值的渐近展开，并利用差值估计将谱间隙与边界条件参数关联。
• 利用积分恒等式和 $L^2$-范数估计，将谱差异与势函数及边界参数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有相同势函数但 $x=1$ 处边界条件不同的两个 Sturm-Liouville 算子的谱中唯一重构 $W^{-1}_2(0,1)$ 中的奇异势函数 $q = \sigma'$？
• RQ2 两个特征值序列成为此类算子谱的必要和充分条件是什么？
• RQ3 如何从两个谱中算法性地重构势函数 $\sigma$ 和边界条件参数 $h_1, h_2$？
• RQ4 尽管 $\sigma$ 的表示不唯一，为何势函数 $q = \sigma'$ 和算子 $T(\sigma, H, h_1)$、$T(\sigma, H, h_2)$ 仍由两个谱唯一确定？
• RQ5 当一个边界条件为 Dirichlet（$h = \infty$）与有限边界条件相比，特征值渐近性有何不同？

主要发现

• 尽管 $\sigma$ 不唯一，但势函数 $q = \sigma'$ 和算子 $T(\sigma, H, h_1)$、$T(\sigma, H, h_2)$ 仍由两个谱唯一确定。
• 两个序列 $(\lambda_n^2)$、$(\mu_n^2)$ 成为谱的充要条件为：交错性，渐近行为 $\lambda_n = \pi(n-1) + \widetilde{\lambda}_n$，$\mu_n = \pi(n-1) + \widetilde{\mu}_n$，其中 $\widetilde{\lambda}_n, \widetilde{\mu}_n$ 为 $\ell_2$ 序列，且 $\lambda_n - \mu_n = \frac{h}{\pi n} + \frac{\nu_n}{n}$，其中 $\nu_n$ 为 $\ell_2$ 序列。
• 当一个边界条件为 Dirichlet（$h_2 = \infty$）时，渐近性发生变化：$\mu_n = \pi(n - 1/2) + \widetilde{\mu}_n$，且条件 (3) 被省略。
• 重构算法通过范数常数将双谱问题转化为经典逆问题，而该问题在作者先前的工作 [11] 中已完全解决。
• 谱数据（特征值和范数常数）唯一确定了势函数 $\sigma \in L_2(0,1)$ 和边界条件 $h_1, h_2 \in \mathbb{R}$。
• 本文证明，在给定谱条件下，特征函数系构成 Riesz 基，从而可通过双正交展开实现稳定重构。