[论文解读] Inverse theta functions as quantum modular forms

|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文利用李超代数理论与椭圆函数技巧，研究了负指数亚纯雅可比形式的傅里叶系数——此前尚未被探索的领域。研究发现，这些系数可分解为偏θ函数，揭示了一类新型的秩-曲率型偏微分方程，并引入了一类具有内在模形式性质的新类量子模部分θ函数。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Fourier coefficients of a special class of meromorphic Jaocbi forms of negative index. Much recent work has been done on such coefficients in the case of Jacobi forms of positive index, but almost nothing is known for Jacobi forms of negative index. In this paper we show, from two different perspectives, that their Fourier coefficients have a simple decomposition in terms of partial theta functions. The first perspective uses the language of Lie super algebras, and the second applies the theory of elliptic functions. In particular, we find a new infinite family of rank-crank type PDEs generalizing the famous example of Atkin and Garvan. We then describe the modularity properties of these coefficients, showing that they are mixed partial theta functions, along the way determining a new class of quantum modular partial theta functions which is of independent interest.

研究动机与目标

• 探索负指数亚纯雅可比形式的傅里叶系数，尽管对正指数形式已有大量研究，但该领域仍属 largely 未被探索的区域。
• 通过两种不同的数学框架，建立这些系数分解为部分θ函数的表达式。
• 通过构建此类偏微分方程的新无限族，推广阿特金与加尔万的秩-曲率偏微分方程。
• 刻画系数的模形式性质，将其识别为混合部分θ函数。
• 引入并研究一类具有独立兴趣的新类量子模部分θ函数。

提出的方法

• 利用李超代数的表示理论，分析负指数雅可比形式傅里叶系数的结构。
• 应用椭圆函数理论，推导出相同系数分解的替代推导。
• 使用生成函数与θ函数恒等式，将系数表示为部分θ函数的组合。
• 从系数结构推导出一类新的无限族秩-曲率型偏微分方程。
• 通过模群下的变换律分析模形式性质，识别出量子模性。
• 确立系数构成一类由部分θ函数构建的新类量子模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于此前在该领域缺乏研究，负指数亚纯雅可比形式的傅里叶系数行为如何？
• RQ2 这些系数能否用部分θ函数表示，若能，是通过何种数学结构？
• RQ3 何种微分方程控制这些系数的生成函数，它们如何推广阿特金-加尔万偏微分方程？
• RQ4 这些系数的模形式性质是什么，它们与量子模形式有何关联？
• RQ5 这些系数是否引出一类新的、内在的量子模部分θ函数？

主要发现

• 负指数亚纯雅可比形式的傅里叶系数可清晰地分解为部分θ函数，揭示出隐藏的代数结构。
• 构建了一类新的无限族秩-曲率型偏微分方程，推广了阿特金与加尔万的经典例子。
• 系数表现出量子模性质，构成一类新的量子模部分θ函数。
• 通过涉及模形式与非模形式分量的变换律，确立了这些系数的模形式性质。
• 李超代数与椭圆函数的双重方法得出一致结果，验证了分解及其推论的正确性。
• 本研究识别出一类此前未知的具有内在算术意义的量子模形式。