[论文解读] Inversion Complexity of Functions of Multi-Valued Logic

V. V. Kochergin, A. V. Mikhailovich|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文将 A.A. 马尔可夫在布尔逻辑中关于逆复杂度的经典结果扩展到 k 值逻辑函数。它证明了：使用 Post 或 Łukasiewicz 否定时，计算任意 k 值函数所需的最少非单调门数分别为 ⌈log₂(d(f)+1)⌉ 和 ⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉，其中 d(f) 衡量在递增变量链上函数值的最大下降次数。

ABSTRACT

The minimum number of NOT gates in a logic circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is the maximum number of value changes from greater to smaller over all increasing chains of tuples of variables values). This result is extended to $k$-valued functions computing in this paper. Thereupon one can use monotone functions "for free" like in the Boolean case. It is shown that the minimum sufficient number of non-monotone gates for the realization of the arbitrary $k$-valued logic function $f$ is equal to $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ if Post negation (function $x+1 \pmod{k}$) is used in NOT nodes and is also equal to $\lceil\log_{k}(d(f)+1) ceil$, if Łukasiewicz negation (function $k-1-x$) is used in NOT nodes. Similar extension for another classical result of A. A. Markov for the inversion complexity of a system of Boolean functions to $k$-valued logic functions has been obtained.

研究动机与目标

• 将 A.A. 马尔可夫 1957 年关于布尔逻辑函数逆复杂度的结果推广到 k 值逻辑函数。
• 定义并分析使用单调函数作为“免费”组件的 k 值逻辑函数的逆复杂度。
• 确定在两种标准否定操作（Post 和 Łukasiewicz）下，实现任意 k 值逻辑函数所需的精确非单调门数量。
• 将经典马尔可夫关于系统逆复杂度的结果扩展到 k 值逻辑设置。
• 推导出在特定基下 k 值逻辑中逆复杂度的香农函数的显式公式。

提出的方法

• 定义在有序集 {0, 1, ..., k−1} 上的 k 值逻辑函数和单调函数。
• 引入输入元组的“递增链”概念，并将函数系统 F 的“下降” d(F) 定义为在这些链上函数值最大下降次数。
• 使用两个典范基：B_P（含 Post 否定 x+1 mod k）和 B_L（含 Łukasiewicz 否定 k−1−x）。
• 通过电路复杂度的归纳法，证明不等式 d(F) ≤ (d(B)+1)^{I_B(F)} − 1，从而建立逆复杂度的下界。
• 利用 s 连接器和单调函数构建递归电路变换，以模拟链段间函数行为。
• 通过构造能利用函数下降 d(F) 的结构实现对数复杂度的电路，证明该界是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算任意 k 值逻辑函数所需的最少非单调门数是多少？
• RQ2 否定操作的选择（Post 与 Łukasiewicz）如何影响 k 值逻辑中的逆复杂度？
• RQ3 马尔可夫关于布尔函数逆复杂度的经典结果能否推广到 k 值逻辑函数系统？
• RQ4 在基 B_P 和 B_L 下，k 值逻辑中逆复杂度的香农函数的确切值是什么？
• RQ5 函数在递增链上的最大下降 d(f) 与其在非单调基下的电路复杂度有何关系？

主要发现

• 在 Post 否定基 B_P 下，任意 k 值逻辑函数 f 的逆复杂度恰好为 ⌈log₂(d(f)+1)⌉。
• 在 Łukasiewicz 否定基 B_L 下，任意 k 值逻辑函数 f 的逆复杂度恰好为 ⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉。
• 对于 k 值逻辑函数系统，其在 B_P 下的逆复杂度为 ⌈log₂(d(F)+1)⌉，在 B_L 下为 ⌈logₖ₋₁(d(F)+1)⌉。
• 在基 B_P 下，n 元 k 值函数的逆复杂度香农函数为 ⌈log₂T(k,n)⌉，其中 T(k,n) = (k−2)n + ⌈n/k⌉ + 1。
• 在 B_P 下，n 个变量上 m 个函数的逆复杂度香农函数为 ⌈log₂((k−1)n + 1)⌉，在 B_L 下为 ⌈logₖ₋₁((k−1)n + 1)⌉。
• 这些界是紧致的，可通过使用 s 连接器和单调函数的递归电路构造实现，以模拟链上值的变化。