[论文解读] Inversion of Separable Kernel Operators in Coupled Differential-Functional Equations and Application to Controller Synthesis
该论文提出了一种直接代数方法，用于求解耦合微分-泛函方程中可分核算子的逆，从而实现时滞系统的高效控制器综合。通过避免级数展开并利用不变子空间性质，该方法降低了计算复杂度，并利用平方和（SOS）优化实现了对高维系统的稳定化，已在具有两个时滞通道的6状态系统上得到验证。
This article presents the inverse of the kernel operator associated with the complete quadratic Lyapunov-Krasovskii functional for coupled differential-functional equations when the kernel operator is separable. Similar to the case of time-delay systems of retarded type, the inverse operator is instrumental in control synthesis. Unlike the power series expansion approach used in the previous literature, a direct algebraic method is used here. It is shown that the domain of definition of the infinitesimal generator is an invariant subspace of the inverse operator if it is an invariant subspace of the kernel operator. The process of control synthesis using the inverse operator is described, and a numerical example is presented using the sum-of-square formulation.
研究动机与目标
- 开发一种用于耦合微分-泛函方程中可分核算子的高效逆算子方法。
- 在不依赖幂级数展开的前提下，实现对时滞系统的控制综合。
- 通过利用无穷小生成元中的结构不变性，降低控制器设计中的计算复杂度。
- 将平方和（SOS）框架扩展至具有耦合动态和分布时滞的系统。
- 在具有6个状态和2个时滞通道的高维系统上验证该方法。
提出的方法
- 采用直接代数方法推导核算子的逆，而非幂级数展开。
- 证明：若无穷小生成元的定义域在原始核算子下保持不变，则在逆算子下也保持不变。
- 应用逆算子构造完整的二次型Lyapunov-Krasovskii泛函，用于稳定性分析。
- 使用平方和（SOS）优化，在区间 $[-r, 0]$ 上强制矩阵值函数的正定性与负定性条件。
- 将反馈控制器表示为状态反馈、延迟状态反馈以及时滞区间上分布积分作用的组合。
- 采用SOSTOOLS与多项式优化求解所得的半定规划问题，决策变量为多项式。
实验结果
研究问题
- RQ1能否在不使用级数展开的前提下，计算耦合微分-泛函方程中可分核算子的逆？
- RQ2如何利用逆算子为具有分布时滞的时滞系统合成稳定控制器？
- RQ3与标准时滞微分方程框架相比，采用微分-差分形式在计算上具有何种优势？
- RQ4无穷小生成元的不变子空间性质是否能在逆算子下保持？
- RQ5与现有基于SOS的控制综合方法相比，该方法在复杂度和可扩展性方面表现如何？
主要发现
- 通过代数方法直接推导出逆算子，消除了对幂级数展开的依赖，显著提升了计算效率。
- 无穷小生成元的定义域在逆算子下保持不变，从而保留了对稳定性分析至关重要的结构特性。
- 所提出的控制器综合方法将决策变量数量从 $3n$ 减少至 $n + 2m$，当 $m \ll n$ 时，显著降低了计算复杂度。
- 成功应用该方法对一个具有两个时滞通道的6状态系统实现了稳定化，控制器包含状态反馈、延迟状态反馈以及分布积分反馈。
- 闭环系统经过数值仿真，结果表明其渐近稳定，验证了控制器设计的有效性。
- 该方法使得基于SOS的优化可用于具有耦合动态和分布时滞的系统，扩展了以往仅限于中立型系统的研究成果。
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