[论文解读] Invertibility of convolution operators on homogeneous groups

Paweł Głowacki|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用 11

一句话总结

该论文通过证明：若一个零阶符号类 $ S^0(\frak{g}) $ 中的卷积算子在 $ L^2(\frak{g}) $ 上可逆，则其逆核也属于 $ S^0(\frak{g}) $，从而确立了齐次李群上卷积算子的可逆性。该结果通过基于 $ S^m(\frak{g}) $ 类别和辅助拟正定核的改进符号演算，将梅林对分层群上 Rockland 算子的参数构造推广至一般齐次群。

ABSTRACT

We say that a tempered distribution $A$ belongs to the class $S^m(\Ge)$ on a homogeneous Lie algebra $\Ge$ if its Abelian Fourier transform $a=\hat{A}$ is a smooth function on the dual $\Ges$ and satisfies the estimates $$ |D^αa(ξ)|\le C_α(1+|ξ|)^{m-|α|}. $$ Let $A\in S^0(\Ge)$. Then the operator $f\mapsto f\star\widetilde{A}(x)$ is bounded on $L^2(\Ge)$. Suppose that the operator is invertible and denote by $B$ the convolution kernel of its inverse. We show that $B$ belongs to the class $S^0(\Ge)$ as well. As a corollary we generalize Melin's theorem on the parametrix construction for Rockland operators.

研究动机与目标

• 通过解决卷积算子符号演算中的空白，填补齐次李群上符号演算的漏洞。
• 证明 $ S^0(\frak{g}) $ 中有界卷积算子的逆在 $ L^2(\frak{g}) $ 上可逆时，其核属于 $ S^0(\frak{g}) $。
• 将梅林对分层群上 Rockland 算子的参数构造推广至一般齐次群。
• 仅基于已知性质和新的符号演算，为 Rockland 算子提供直接的参数构造。

提出的方法

• 通过核的傅里叶变换的光滑性与齐次范数估计定义符号类 $ S^m(\frak{g}) $。
• 利用有界性定理，确保 $ S^0(\frak{g}) $ 中的算子可延拓为 $ L^2(\frak{g}) $ 上的有界算子。
• 引入辅助拟正定齐次核 $ P^m $ 及其相关算子 $ V_1^m $，以构造用于求逆的椭圆算子。
• 通过渐近级数 $ B \approx \sum_{k=1}^\infty B_1^k $ 构造参数，其中 $ B_1 $ 是 $ A + \delta_0 $ 的逆。
• 利用 $ S^{-m} $-核的正算子满足下界估计 $ \|f \star A\| + \|f\| \geq C\|f \star P^m\| $ 的事实，来刻画参数。
• 应用符号演算证明 $ S^0 $-算子的逆核 $ B $ 仍属于 $ S^0 $，利用复合与有界性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ S^0(\frak{g}) $ 中有界卷积算子的逆也属于 $ S^0(\frak{g}) $？
• RQ2 梅林对 Rockland 算子的参数构造能否推广至非分层齐次群？
• RQ3 拟正定核 $ P^m $ 在 $ S^m(\frak{g}) $ 中算子参数构造中起何作用？
• RQ4 $ S^m(\frak{g}) $ 上的符号演算如何实现不依赖于 $ S^{m,s} $-类别的直接参数构造？

主要发现

• 若 $ A \in S^0(\frak{g}) $ 且卷积算子 $ f \mapsto f \star \widetilde{A} $ 在 $ L^2(\frak{g}) $ 上可逆，则其逆核 $ B $ 属于 $ S^0(\frak{g}) $。
• 任意齐次群上 Rockland 算子的参数存在，且属于 $ S^{-m}(\frak{g}) $，推广了梅林的结果。
• 正算子 $ A \in S^m(\frak{g}) $ 存在参数当且仅当对所有 $ f \in \mathcal{S}(\frak{g}) $，有估计 $ \|f \star A\| + \|f\| \geq C\|f \star P^m\| $ 成立。
• 通过渐近级数 $ B \approx \sum_{k=1}^\infty B_1^k $ 构造 $ S^0 $-算子的逆，其中 $ B_1 $ 是 $ A + \delta_0 $ 的逆。
• 仅使用 $ S^m $-演算和 Folland-Stein 的已知性质，无需依赖梅林的 $ S^{m,s} $-类，即可为 Rockland 算子提供直接的参数构造。
• $ S^0(\frak{g}) $ 类在 $ L^2 $-有界算子下关于求逆是封闭的，确立了在幂零李群上建立完整伪微分演算的关键性质。