[论文解读] Invertibility of Submatrices of Pascal's Matrix and Birkhoff Interpolation

Scott N. Kersey|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过两点Birkhoff插值的视角，建立了帕斯卡矩阵子矩阵可逆性的充要条件。结果表明，可逆性等价于导数求值点关联矩阵的Pólya条件，通过在0和1处基于导数的泛函，推广了经典的Vandermonde型行列式理论。

ABSTRACT

The infinite upper triangular Pascal matrix is $T = [\binom{j}{i}]$ for $0\leq i,j$. It is easy to see that any leading principle square submatrix is triangular with determinant $1$, hence invertible. In this paper, we investigate the invertibility of arbitrary square submatrices $T_{r,c}$ comprised of rows $r=[r_0,\ldots,r_m]$ and columns $c=[c_0,\ldots,c_m]$ of $T$. We show that $T_{r,c}$ is invertible iff $r \leq c$ (i.e., $r_i \leq c_i$ for $i=0, \ldots, m$), or equivalently, iff all diagonal entries are nonzero. To prove this result we establish a connection between the invertibility of these submatrices and polynomial interpolation. In particular, we apply the theory of Birkhoff interpolation and \polya{} systems.

研究动机与目标

• 通过插值理论刻画帕斯卡矩阵子矩阵可逆性的特征。
• 将这些子矩阵的结构与在0和1处基于导数的泛函所定义的广义Vandermonde系统联系起来。
• 通过Birkhoff插值中的关联矩阵，确定可逆性的必要与充分条件。
• 形式化Pólya条件在确保两点插值问题可解性中的作用。
• 将经典Vandermonde行列式结果推广至更高阶导数插值设定。

提出的方法

• 将关联矩阵E定义为2×(n+1)的二值矩阵，其中恰好包含n+1个1，表示包含哪些导数泛函δxiDj。
• 引入累积列和Mj = ∑i=0^1 ∑k=0^j eik，以追踪至列j为止所包含的泛函数量。
• 应用Pólya条件：对所有j = 0到m，均有Mj > j，该条件可确保插值系统具有唯一解。
• 利用插值矩阵ΛT的可逆性与Pólya条件之间的等价性。
• 借助Ferguson（1969）、Pólya（1931）和Whittaker（1935）的结果，证明主定理。
• 通过行索引r和列索引c，将帕斯卡矩阵中的子矩阵选择映射为Birkhoff插值问题，定义Er,¯c为对应插值系统的关联矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 帕斯卡矩阵的子矩阵在何种条件下可逆？
• RQ2 在0和1处基于导数的泛函结构如何影响此类子矩阵的可逆性？
• RQ3 关联矩阵在刻画两点Birkhoff插值问题可解性方面起何种作用？
• RQ4 是否存在关于导数求值位置的组合条件，可保证可逆性？
• RQ5 Pólya条件与插值矩阵的秩及行列式之间有何关系？

主要发现

• 帕斯卡矩阵的子矩阵Tr,¯c可逆当且仅当其对应的关联矩阵Er,¯c满足Pólya条件：对所有j = 0, ..., m，均有Mj > j。
• 累积列和Mj表示至列j为止所包含的泛函δxiDj的数量，Pólya条件确保在每个阶段均有足够的泛函覆盖。
• 关联矩阵方法使得能够系统性地分类出哪些导数求值集合可产生可逆的插值系统。
• 该结果将经典的Vandermonde行列式理论推广至在两点（0和1）处的高阶导数插值设定。
• Pólya条件是插值矩阵ΛT可逆性的必要且充分条件，而ΛT对应于帕斯卡矩阵的子矩阵。
• 本文证实，Pólya条件等价于在空间Πn上定义的两点Birkhoff插值问题存在唯一解。