[论文解读] Invertible and nilpotent matrices over antirings

David Dolžan, Polona Oblak|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文研究了交换反环上可逆矩阵与幂零矩阵的性质，证明了任一在整反环上的 $ n \times n $ 幂零矩阵均可表示为 $ \lceil \log_2 n \rceil $ 个平方零矩阵之和。此外，本文还确定了表示任意迹为零矩阵所需的最少平方零矩阵数量，并通过矩阵有向图上的组合图着色方法得到了精确界限。

ABSTRACT

In this paper we characterize invertible matrices over an arbitrary commutative antiring S and find the structure of GL_n (S). We find the number of nilpotent matrices over an entire commutative finite antiring. We prove that every nilpotent $n imes n$ matrix over an entire antiring can be written as a sum of $\lceil \log_2 n ceil$ square-zero matrices and also find the necessary number of square-zero summands for an arbitrary trace-zero matrix to be expressible as their sum.

研究动机与目标

• 将 Tan 对交换反环上可逆矩阵的刻画推广至任意含单位元的交换反环。
• 确定有限、交换、整反环上幂零矩阵的确切数量。
• 建立任意幂零矩阵或迹为零矩阵在反环上表示为平方零矩阵之和所需的最少平方零矩阵数量。
• 刻画交换反环 $ S $ 上一般线性群 $ GL_n(S) $ 的结构。

提出的方法

• 利用反环中 1 的正交分解，将可逆矩阵分解为缩放后的置换矩阵之和。
• 将图着色技术应用于矩阵的有向图，定义 $ \chi(\Gamma) $ 为使得任意顶点不同时是两种同色边的起点与终点的最小颜色数。
• 借助 Harner 与 Entringer（1972）以及 Zwonek（2015）关于传递竞赛图与完全有向图的弧着色结果，对平方零矩阵加数的个数进行界定。
• 定义 $ N(n) $ 为满足 $ n \leq \binom{N(n)}{\lceil N(n)/2 \rceil} $ 的最小整数，该值即为迹为零矩阵所需平方零矩阵的最小数量。
• 利用恒等式 $ D(A) = D(A_1) \uplus \cdots \uplus D(A_k) $，将矩阵和的有向图与各加数有向图的并集关联起来。
• 证明 $ GL_n(S) \simeq U(S)^n \rtimes (S_n)^k $，其中 $ k $ 为反环 $ S $ 中 1 的正交分解的最大长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在交换反环 $ S $ 上，一般线性群 $ GL_n(S) $ 的结构是怎样的？
• RQ2 在有限、交换、整反环上，$ n \times n $ 幂零矩阵有多少个？
• RQ3 在整反环上，表示任意 $ n \times n $ 幂零矩阵所需的最少平方零矩阵数量是多少？
• RQ4 在不含非零幂零元的反环上，表示任意 $ n \times n $ 迹为零矩阵所需的最少平方零矩阵数量是多少？

主要发现

• 任一在整反环上的 $ n \times n $ 幂零矩阵均可表示为恰好 $ \lceil \log_2 n \rceil $ 个平方零矩阵之和，且该界是紧的。
• 对每个 $ n $，均存在一个幂零矩阵无法用少于 $ \lceil \log_2 n \rceil $ 个平方零矩阵表示。
• 在有限、交换、整反环上，$ n \times n $ 幂零矩阵的数量等于上三角部分非零元素的严格上三角矩阵的数量，其结构由反环决定。
• 在不含非零幂零元的反环上，任一迹为零的 $ n \times n $ 矩阵均可表示为至多 $ N(n) $ 个平方零矩阵之和，其中 $ N(n) $ 是满足 $ n \leq \binom{N(n)}{\lceil N(n)/2 \rceil} $ 的最小整数。
• 存在一个迹为零的矩阵无法用少于 $ N(n) $ 个平方零矩阵表示，表明该界是精确的。
• 在交换反环 $ S $ 上，$ n \times n $ 可逆矩阵的一般线性群 $ GL_n(S) $ 同构于 $ U(S)^n \rtimes (S_n)^k $，其中 $ k $ 为 $ S $ 中 1 的正交分解的最大长度。