[论文解读] Invertible Quantum Operations and Perfect Encryption of Quantum States

Ashwin Nayak, Pranab Kumar Sen|arXiv (Cornell University)|May 3, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 36

一句话总结

本文将可逆量子操作表征为对量子态和固定辅助系统（可能为混合态）施加的酉变换，并证明此类映射对于完美量子态加密是必要且充分的。关键结果是，任何n量子比特的完美加密都需要至少2n比特的经典密钥，该结果将先前的界限推广至包含辅助系统的通用方案。

ABSTRACT

In this note, we characterize the form of an invertible quantum operation, i.e., a completely positive trace preserving linear transformation (a CPTP map) whose inverse is also a CPTP map. The precise form of such maps becomes important in contexts such as self-testing and encryption. We show that these maps correspond to applying a unitary transformation to the state along with an ancilla initialized to a fixed state, which may be mixed. The characterization of invertible quantum operations implies that one-way schemes for encrypting quantum states using a classical key may be slightly more general than the ``private quantum channels'' studied by Ambainis, Mosca, Tapp and de Wolf (FOCS 2000). Nonetheless, we show that their results, most notably a lower bound of 2n bits of key to encrypt n quantum bits, extend in a straightforward manner to the general case.

研究动机与目标

• 表征可逆量子操作（具有CPTP逆的CPTP映射）的数学形式，超越简单的酉变换。
• 研究该表征对量子加密协议（尤其是使用经典密钥的完美加密）的含义。
• 推广并扩展现有关于量子态加密经典密钥大小的下限，包括包含辅助系统的情形。
• 证明即使在加密过程中使用辅助系统，n量子比特加密的2n比特密钥下限依然成立。
• 通过统一框架建立量子加密、量子纠错与可逆量子操作之间的联系。

提出的方法

• 通过类比量子纠错标准的证明结构，证明可逆CPTP映射必须对应于输入态与固定辅助系统（可能为混合态）上的酉演化。
• 通过缩放，将该表征扩展至一般完全正（CP）映射，将其与量子操作中的测量结果关联。
• 利用酉-辅助形式建模一般的一般单向加密方案，其中爱丽丝对态和辅助系统应用与密钥相关的酉变换。
• 使用基于熵的论证（冯·诺依曼熵与香农熵），通过熵的凹性和次可加性来界定完美加密所需的密钥大小。
• 通过贝尔态构造从量子态加密到经典比特加密的转换，表明任何n量子比特加密方案均蕴含一个2n比特的经典加密方案。
• 使用秩论证表明，实现n量子比特完美加密所需的唯一密钥数至少为2^{2n}，从而确认密钥熵的2n比特下限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入与输出希尔伯特空间维数不同时，可逆量子操作（即具有CPTP逆的CPTP映射）的精确数学形式是什么？
• RQ2 在加密协议中，固定辅助系统（可能为混合态）的引入如何影响可逆量子操作的结构？
• RQ3 当在加密过程中使用辅助系统时，n量子比特量子态加密的经典密钥大小的2n比特下限是否仍然成立？
• RQ4 能否将量子态的完美加密简化为经典比特的完美加密？这对密钥大小有何影响？
• RQ5 可逆量子操作、量子纠错与量子信息中的可逆测量之间存在何种关系？

主要发现

• 可逆量子操作必须等价于对输入态和固定辅助系统（可能处于混合态）施加酉变换。
• 通过正实数缩放，可逆CPTP映射的表征可推广至一般CP映射，使其与基于测量的量子操作相关联。
• 即使在使用辅助系统的情况下，n量子比特完美加密的经典密钥大小的2n比特下限依然成立，从而推广了先前结果。
• 任何n量子比特的完美加密方案均可转化为2n经典比特的完美加密方案，从而在量子与经典加密安全性之间建立直接联系。
• 任何n量子比特完美加密协议中，密钥分布的香农熵至少为2n比特，该结论通过熵的次可加性与凹性论证得以证明。
• 秩论证表明，实现n量子比特完美加密所需的唯一密钥数至少为2^{2n}，从而确认密钥大小的2n比特下限。